[論文レビュー] An improved algorithm to compute the exponential of a matrix

Philipp Bader, Sergio Blanes+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2017

Matrix Theory and Algorithms参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文では、行列指数関数のテイラー多項式の評価を最適化することで、パテルソン–ストックマイヤー法よりも行列乗算の回数を減らす新しいアルゴリズムを提案する。この方法は、広範な行列ノルムの範囲でパデ近似よりも10–30%の性能向上を達成しており、MATLABの expm のような標準的なソフトウェアライブラリにおける優れた代替手段である。

ABSTRACT

In this work, we present a new way to compute the Taylor polynomial of the matrix exponential which reduces the number of matrix multiplications in comparison with the de-facto standard Patterson-Stockmeyer method. This reduction is sufficient to make the method superior in performance to Padé approximants by 10-30% over a range of values for the matrix norms and thus we propose its replacement in standard software kits. Numerical experiments show the performance of the method and illustrate its stability.

研究の動機と目的

• 行列指数関数のテイラー多項式の評価にかかる計算コストを低減すること。
• 行列多項式評価のための広く使われているパテルソン–ストックマイヤー法よりも性能を向上させること。
• 行列指数関数のスケーリングとスクエアリング法におけるパデ近似のより効率的な代替手段を開発すること。
• MATLABの expm などの既存の手法と同等の数値的安定性を確保しながら計算コストを削減すること。
• 標準的な科学技術計算ソフトウェアに統合可能な実用的で実装可能なアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• パテルソン–ストックマイヤー法よりも行列積の回数を減らす行列多項式を計算する一般化された再帰的アルゴリズムが導入される。
• 階層的分解を用いてテイラー多項式係数の評価を再構成し、1回の行列積あたりの次数を向上させる。
• パテルソン–ストックマイヤー法（6回の積で次数16）と比較して、6回の積で次数22の多項式を計算可能となる。
• 乗算回数を最小限に抑えるために、係数の最適なグループ化を施したホーナー型の評価戦略が用いられる。
• スケーリングとスクエアリングフレームワークに統合され、内側の多項式評価ステップでパデ近似の代わりに本手法が使用される。
• 標準的なテスト行列およびさまざまなノルムのランダム行列を用いた数値実験により、本手法の妥当性が検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パテルソン–ストックマイヤー法の基準を下回る行列乗算回数で、行列指数関数のテイラー多項式の評価が可能かどうか。
• RQ2 数値的安定性を維持しつつ、計算コストの観点で本手法がパデ近似を上回るかどうか。
• RQ3 行列ノルムのどの範囲で、新しいテイラーに基づく手法がパデに基づくスケーリングとスクエアリングよりも効率的か。
• RQ4 MATLABの expm などの既存実装と比較して、本手法の精度と安定性はどのように異なるか。
• RQ5 同じ数の行列積で、より高い多項式次数を達成するために本手法を一般化できるか。

主な発見

• 本手法は、パテルソン–ストックマイヤー法よりも行列指数関数のテイラー多項式の評価に必要な行列乗算回数を削減した。
• 6回の行列積で、本手法は次数22の多項式を計算可能であるのに対し、パテルソン–ストックマイヤー法では次数16にとどまる。
• 単精度および倍精度の両方において、広範な行列ノルムの範囲で、パデ近似よりも10–30%の性能向上を達成した。
• 本手法の相対誤差はホーナー法評価の期待される範囲内にあり、パデ法と同等の水準であった。
• 本手法は数値的に安定しており、MATLABの expm 関数のような標準的なソフトウェアライブラリへの統合に適している。
• 小さなから中程度のノルムを持つ行列に対しては、新しいテイラーに基づく手法がパデ近似よりも顕著に効率的である。