[論文レビュー] An improved return-mapping scheme for nonsmooth yield surfaces: PART I - the Haigh-Westergaard coordinates

Stanislav Sysala, Martin Čermák+4 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 35被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、弾塑性における非滑らか降伏表面に対して、部分微分に基づく戻しマッピングスキームを提案する。この手法により、戻しタイプ（例：頂点またはエッジ）にかかわらず、一様で一意に定義された非線形方程式系が得られ、離散化された構成演算子の存在、一意性、および半滑らか性が保証される。また、Haigh-Westergaard座標を用いた土壌様材料の極限解析において、収束性とロバスト性が向上することを示している。

ABSTRACT

The paper is devoted to the numerical solution of elastoplastic constitutive initial value problems. An improved form of the implicit return-mapping scheme for nonsmooth yield surfaces is proposed that systematically builds on a subdifferential formulation of the flow rule. The main advantage of this approach is that the treatment of singular points, such as apices or edges at which the flow direction is multivalued involves only a uniquely defined set of non-linear equations, similarly to smooth yield surfaces. This paper (PART I) is focused on isotropic models containing: $a)$ yield surfaces with one or two apices (singular points) laying on the hydrostatic axis; $b)$ plastic pseudo-potentials that are independent of the Lode angle; $c)$ nonlinear isotropic hardening (optionally). It is shown that for some models the improved integration scheme also enables to a priori decide about a type of the return and investigate existence, uniqueness and semismoothness of discretized constitutive operators in implicit form. Further, the semismooth Newton method is introduced to solve incremental boundary-value problems. The paper also contains numerical examples related to slope stability with available Matlab implementation.

研究の動機と目的

• 古典的な戻しマッピングスキームにおける、特異点（例：頂点、エッジ）における数値的不安定性および多値的塑性流れの恣意的取り扱いを解消する。
• 部分微分形式による塑性流れ則の定式化を用いて、非滑らか降伏表面のための体系的で数学的に整合性のあるフレームワークを構築する。
• 反復的推測や補助ソルバーを用いずに、事前に戻しタイプ（例：頂点またはエッジ）を特定できるようにする。
• 陰的時間積分における離散化された構成演算子の存在、一意性、および半滑らか性を保証する。
• 有限要素解析における弾塑性問題のロバストな実装の基盤を提供する。

提案手法

• 非滑らか表面における古典的な勾配に基づく則の代わりに、塑性擬ポテンシャルの部分微分を用いて塑性流れ則を定式化する。
• 応力状態および降伏表面を、特に水圧軸上に特異点を有する等方的モデルを対象として、Haigh-Westergaard座標で表現する。
• 頂点、エッジ、滑らかの場合を含むすべての戻しタイプに対して、一意に定義された単一の非線形方程式系を構築し、ケース別に異なる定式化を排除する。
• 離散化された演算子の半滑らか性を活用して、増分境界値問題を解くための半滑らかニュートン法を導入する。
• 非線形等方的硬化を有する等方的モデルに本スキームを適用し、Drucker-Pragerモデルおよび簡略化されたJirasek-Grasslモデルを含む。
• 斜面安定性の数値例を通じて、収束性と解の精度を標準的手法と比較して、本手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非滑らか降伏表面に対して、特異点における恣意的なケース別区分を回避する統一的な戻しマッピングスキームを開発可能か？
• RQ2 部分微分形式により、反復的推測なしに、試行応力状態から戻しタイプ（例：頂点）を事前に特定可能か？
• RQ3 提案スキームにより、陰的時間積分における離散化された構成演算子の存在、一意性、および半滑らか性を保証可能か？
• RQ4 非滑らか降伏表面を持つモデルにおいて、本改善スキームは古典的手法に比べて収束性とロバスト性に優れるか？
• RQ5 本手法は、斜面安定性などの実世界の地力学的問題に、最小限の数値的アーチファクトを伴って効果的に適用可能か？

主な発見

• 提案された戻しマッピングスキームにより、戻しタイプにかかわらず、一意に定義された単一の非線形方程式系が得られ、ケース別定式化の必要がなくなる。
• Drucker-Pragerモデルにおいて、最も細かいP1メッシュでは、限界負荷係数4.124を達成し、標準的手法に比べて丸め誤差が低減され、ニュートン反復回数も減少した。
• Drucker-Pragerモデルに適合した簡略化されたJirasek-Grasslモデルは、最も細かいQ2メッシュで限界負荷係数4.107を示し、良好な一致と高速収束を示した。
• 特定のモデルでは、戻しタイプを事前に特定可能であり、解法プロセスにおける反復的試行錯誤への依存が軽減された。
• 離散化された演算子の半滑らか性が解析的に確立されており、半滑らかニュートン法は信頼性高く収束した。
• 計算コストの観点でも実用的効率性を示し、収束性の向上にもかかわらず、ニュートン反復回数の削減と特異点付近でのロバスト性の向上により、標準的手法と同等の全体的な計算時間となった。