[論文レビュー] An improved upper bound on the length of the longest cycle of a supercritical random graph

Graeme Kemkes, Nicholas Wormald|ArXiv.org|Jul 20, 2009

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$n^{2/3} = o(s)$ かつ $s = o(n)$ を満たす $M = n/2 + s$ における超臨界ランダムグラフ $χ(n,M)$ の最長閉路長に対する上界を改善する。核とコアの構造を核配置モデルおよびエッジ重み分布を用いて分析することで、閉路長（circumference）に対する漸近的ほとんど確実な上界 $(6.958 + o(1))s^2/n$ を確立し、Łuczakの以前の上界 $(7.496 + o(1))s^2/n$ を改善する。

ABSTRACT

We improve Luczak's upper bounds on the length of the longest cycle in the random graph G(n,M) in the "supercritical phase" where M=n/2+s and s=o(n) but n^{2/3}=o(s). The new upper bound is (6.958+o(1))s^2/n with probability 1-o(1) as n approaches infinity. Letting c=1+2s/n, the equivalence between G(n,p) and G(n,M) implies the same result for G(n,p) where p=c/n, c approaching 1, c-1 = omega(n^{-1/3}).

研究の動機と目的

• 超臨界ランダムグラフ $\mathcal{G}(n,M)$ における閉路長（最長閉路長）の上界を精緻化すること。
• 同じ設定において Łuczak が得た $(7.496 + o(1))s^2/n$ の上界を改善すること。
• 核配置モデルを用いて $\mathcal{G}(n,M)$ の核およびコアの構造的性質を分析すること。
• ランダムエッジ重みを備えた擬似グラフにおける最重閉路の重みに関するより鋭い集中不等式を導出すること。
• 閉路長が漸近的ほとんど確実に $(6.958 + o(1))s^2/n$ 以下であることを確立すること。

提案手法

• 超臨界領域における $\mathcal{G}(n,M)$ のコアおよびコアのランダム構造を核配置モデルでモデル化する。
• コア再構築の過程で各エッジに、度数2の頂点が挿入される回数を表すランダムエッジ重みを割り当てる。
• エッジ重みの漸近的分布を分析し、有界な重み集合が独立な指数分布に類似していることを示す。
• 集中不等式を適用して、有界な重み部分集合上の関数の和が期待値のまわりに集中することを示す。
• ランダムエッジ重みを備えた擬似グラフにおける最大閉路重みを抑えるために、定数 $c^*$ に対する $k$-適性条件を用いる。
• prekernel およびコアに関する構造的結果と確率的不等式を組み合わせ、最終的な閉路長上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超臨界ランダムグラフ $\mathcal{G}(n,M)$ における最長閉路長の、最も鋭い漸近的上界は何か？ ただし $M = n/2 + s$ とする。
• RQ2 核のエッジ重みは漸近的にどのように振る舞い、閉路長の上界を求めるために利用可能か？
• RQ3 核配置モデルを活用して、Łuczak が得た $(7.496 + o(1))s^2/n$ の上界を改善可能か？
• RQ4 $k$-適性条件は、重み付き擬似グラフにおける最大閉路重みの上界を求める際に果たす役割は何か？
• RQ5 コアおよび prekernel の構造的性質は、$\mathcal{G}(n,M)$ における最長閉路長にどの程度制約をもたらすか？

主な発見

• $M = n/2 + s$、$n^{2/3} = o(s)$、$s = o(n)$ を満たすとき、$\mathcal{G}(n,M)$ の閉路長は漸近的ほとんど確実に $(6.958 + o(1))s^2/n$ 以下である。
• 核配置モデルを分析し、ランダムエッジ重みを備えた擬似グラフにおける最大閉路重みが、頂点数の $8c^*$ 倍で抑えられることを示した。ここで $c^* = 0.8697$ である。
• 著者らは $c^* = 0.8697$ が $k=9$ に対して $k$-適性であることを確立し、これにより最終的な上界 $(8 \times 0.8697 + o(1))s^2/n = (6.958 + o(1))s^2/n$ を得た。
• コアには、$o(s^2/n)$ 個の度数2の頂点が存在し、これらを除去することで prekernel が得られることを示した。これは閉路長推定において無視可能である。
• prekernel $G$ の次数列は、頂点数、辺数、および3頂点の次数和に関する集中条件を満たす集合 $D$ にほとんど確実に含まれる。
• prekernel の閉路長が $c^* v({\bf d})$ 以下である確率は $1 + o(1)$ である。$v({\bf d}) \sim 8s^2/n$ であることから、これらを組み合わせることで最終的な上界が得られる。