[論文レビュー] An improvement of the product integration method for a weakly singular Hammerstein equation

Laurence Grammont, Hanane Kaboul|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2016

Numerical methods for differential equations参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、弱特異的ハマースタイン積分方程式を解くための新しい線形化・離散化手法を提案する。まずニュートン法を用いて非線形作用素方程式を線形化し、その後空間的離散化に積分乗算法を適用する。主な貢献は、離散化パラメータにかかわらず、得られる反復解が真の解に収束することを証明したことである。これにより、古典的手法における離散化による精度制限を克服する。

ABSTRACT

We present a new method to solve nonlinear Hammerstein equations with weakly singular kernels. The process to approximate the solution, followed usually, consists in adapting the discretization scheme from the linear case in order to obtain a nonlinear system in a finite dimensional space and solve it by any linearization method. In this paper, we propose to first linearize, via Newton method, the nonlinear operator equation and only then to discretize the obtained linear equations by the product integration method. We prove that the iterates, issued from our method, tends to the exact solution of the nonlinear Hammerstein equation when the number of Newton iterations tends to infinity, whatever the discretization parameter can be. This is not the case when the discretization is done first: in this case, the accuracy of the approximation is limited by the mesh size discretization. A Numerical example is given to confirm the theorical result.

研究の動機と目的

• 古典的手法における積分乗算法の限界を是正するため、線形化の前に離散化を行うと、メッシュサイズに制限された精度にとどまることを改善する。
• 弱特異的核を有する非線形ハマースタイン方程式の数値解法の精度を向上させる。
• 粗い離散化でも、反復近似が真の解に収束することを確立する。
• 線形化を先に行い、その後に離散化するという新しい手法の理論的基盤を提供する。
• 数値実験を通じて、新手法が古典的手法よりも優れた収束性を示すことを示す。

提案手法

• 非線形作用素方程式 $\varphi - K(\varphi) = y$ に直接ニュートン法を適用し、線形化された方程式の系列を生成する。
• 各線形化された方程式を、区分的線形補間を用いた積分乗算法で離散化する。
• 特に弱特異的核に適した積分の数値積分に、積分台形則を用いる。
• 各ニュートン反復で得られる線形方程式系を、標準的な反復ソルバーで解く。
• 離散化を線形化の後に実施することで、メッシュサイズとは独立して収束性を向上させることを保証する。
• 対数特異性を含む積分を正確に評価するために、特異性除去技術を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形化を離散化の前に実施することで、古典的手法に比べてより優れた収束性を示すか？
• RQ2 離散化パラメータが固定で粗い場合でも、ニュートン反復解が真の解に収束するか？
• RQ3 弱特異的核に対して、提案手法の線形化・離散化法の理論的収束挙動はいかなるものか？
• RQ4 新手法において、解の精度はニュートン反復回数とメッシュサイズのどちらに依存するか？
• RQ5 反復回数を増やすことで、新手法が古典的手法よりも誤差低減に優れているか？

主な発見

• 提案手法では、反復回数が無限大に近づくにつれて、離散化パラメータにかかわらずニュートン反復解が真の解に収束することが保証される。
• これに対して、古典的手法では、近似解 $\psi_n$ にしか収束せず、その誤差はメッシュサイズ $n$ で上限づけられ、真の解 $\varphi$ には近づかない。
• 数値実験により、粗いグリッド（例：$n=50$）でも、新手法が古典的手法に比べて顕著に低い誤差を達成することが確認された。
• 離散化パラメータ $n$ が増加するにつれて、同じ精度に到達するためのニュートン反復回数が減少し、計算コストが低減される。
• 低次の積分乗算法（台形則）でも本手法は有効であるため、より高次な求積法を用いることでさらに効率を向上できる可能性がある。
• 理論的収束性は、作用素のフレシェ微分可能性と反復作用素のスペクトル半径解析を通じて確立された。