[論文レビュー] An Improvement over the GVW Algorithm for Inhomogeneous Polynomial Systems

Yao Sun, Dongdai Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2014

Polynomial and algebraic computation参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非斉次多項式系におけるグレブナー基底の計算を目的としたGVWアルゴリズムの変種、M-GVWを提案する。ミュータントペアの導入とシグニチャの再割り当てにより、高シグニチャだが低次数のJペアが拒否されるのを回避し、多項式の次数成長を低減し、計算を高速化する。特に、M4RIで最適化された線形代数ルーチンを用いることで、ブール多項式環において顕著な性能向上が得られる。

ABSTRACT

The GVW algorithm is a signature-based algorithm for computing Gröbner bases. If the input system is not homogeneous, some J-pairs with higher signatures but lower degrees are rejected by GVW's Syzygy Criterion, instead, GVW have to compute some J-pairs with lower signatures but higher degrees. Consequently, degrees of polynomials appearing during the computations may unnecessarily grow up higher and the computation become more expensive. In this paper, a variant of the GVW algorithm, called M-GVW, is proposed and mutant pairs are introduced to overcome inconveniences brought by inhomogeneous input polynomials. Some techniques from linear algebra are used to improve the efficiency. Both GVW and M-GVW have been implemented in C++ and tested by many examples from boolean polynomial rings. The timings show M-GVW usually performs much better than the original GVW algorithm when mutant pairs are found. Besides, M-GVW is also compared with intrinsic Gröbner bases functions on Maple, Singular and Magma. Due to the efficient routines from the M4RI library, the experimental results show that M-GVW is very efficient.

研究の動機と目的

• 非斉次多項式系を処理する際、シジージ基準により高シグニチャで低次数のJペアが拒否されるため、GVWアルゴリズムの非効率性を是正すること。
• グレブナー基底計算中の中間多項式の不要な次数成長を低減すること。
• シグニチャに基づくアルゴリズムの性能を向上させるために、ミュータントペア（シグニチャから予想される次数よりも低い次数を持つ多項式）を検出し、処理すること。
• GF(2)上での密行列の線形代数をM4RIライブラリを活用して最適化し、M-GVWを実装・最適化すること。
• 特にミュータントペアが存在する状況において、M-GVWがGVWおよび既存のシステム（Maple、Singular、Magma）を上回る性能を示すことを実証すること。

提案手法

• シグニチャから予測される次数よりも低い次数を持つ多項式としてミュータントペアを定義し、入力系の構造的非斉次性を示す。
• GVWアルゴリズムを変更し、計算中にミュータントペアを検出し、初期系に追加するとともに、より高い優先度のシグニチャを割り当てる。
• ミュータントペアのシグニチャを再割り当てすることで、高シグニチャであっても生成されるJペアがシジージ基準により拒否されないように保証する。
• 符号号順序を保持するための一方通行の消去を用い、GF(2)上での密行列に適したM4RIルーチンを適合させる。
• C++でGVWおよびM-GVWを実装し、ブール多項式環に特化した最適化された行列演算を適用する。
• ミュータントペアの探索と計算のオーバーヘッドを制限するため、M-GVWに次数制限（Deg-Limit = 4）を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非斉次多項式が存在する場合、Jペア選択におけるシグニチャ-次数の不一致がGVWアルゴリズムの効率にどのように影響を与えるか？
• RQ2 シグニチャに対して予想外に低い次数を持つミュータントペアを同定し、再処理することで、シグニチャベースのグレブナー基底アルゴリズムの性能が向上するか？
• RQ3 非斉次系において、M-GVWはGVWと比較して最大行列次数と計算時間をどの程度低減できるか？
• RQ4 ブール多項式系において、M-GVWはMaple、Singular、Magmaのネイティブグレブナー基底実装と比較してどの程度の性能向上を示すか？
• RQ5 M4RIから得られる最適化された密行列線形代数ルーチンは、シグニチャベースのアルゴリズムにおける一方通行の消去に効果的に適応可能か？

主な発見

• M-GVWは非斉次系において行列サイズと計算時間を顕著に低減した：HFE_35_96ではGVWが1時間を超えたが、M-GVWは57.988秒で完了した。
• 21×21系ではM-GVWが924個のミュータントペア（次数 < 4）を同定し、行列次数は類似していたが計算時間を14.991秒から8.226秒に短縮した。
• HFE_25_96では、行列サイズを63341×68298から14271×15222に縮小し、計算時間を131.806秒から3.418秒に短縮した。
• M-GVWはすべてのテスト例でMaple、Singular、Magmaを上回り、HFE系では最大10倍の高速化を達成した。
• M4RIで最適化されたM-GVW実装は、Maple、Singular、Magmaの組み込み関数を上回る性能を示し、特にGF(2)上での密行列に対して顕著であった。
• 行列消去における新しいスワップ手法は効率を保ち、mzd_ple()とgvw_ple()の性能はほぼ同一であった。