[論文レビュー] An in-place truncated Fourier transform and applications to polynomial multiplication

David Harvey, Daniel S. Roche|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2010

Polynomial and algebraic computation参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、切り捨てフーリエ変換（TFT）およびその逆変換（ITFT）のインプレースアルゴリズムを提示し、$O(n\log n)$の時間計算量と$O(1)$の補助的メモリ空間を達成する。著者らは、ヴァン・デル・ホーヴェンのTFTを時間によるデシメーションアプローチと、即時のルート計算を再考することで、従来の方法が2のべき乗サイズで発生させる$O(n)$のメモリオーバーヘッドを排除し、任意の次数の多項式乗算を効率的かつメモリ制限付きで行えるようにする。

ABSTRACT

The truncated Fourier transform (TFT) was introduced by van der Hoeven in 2004 as a means of smoothing the "jumps" in running time of the ordinary FFT algorithm that occur at power-of-two input sizes. However, the TFT still introduces these jumps in memory usage. We describe in-place variants of the forward and inverse TFT algorithms, achieving time complexity O(n log n) with only O(1) auxiliary space. As an application, we extend the second author's results on space-restricted FFT-based polynomial multiplication to polynomials of arbitrary degree.

研究の動機と目的

• 既存の切り捨てフーリエ変換（TFT）およびその逆変換（ITFT）アルゴリズムに伴う$O(n)$の補助メモリ使用量を解消すること。これは、2のべき乗サイズでのバッファ要件に起因する。
• 時間計算量$O(n\log n)$を維持しながら、$O(1)$の追加ストレージのみを用いる、前向きおよび逆方向のTFTのインプレースバージョンを開発すること。
• TFTに基づくFFTによる多項式乗算を、$O(n)$の補助的メモリを必要としないようにすることで、任意の次数の多項式に一般化すること。
• 入力が読み取り専用であり出力が段階的に書き込まれる状況でも、$O(1)$の補助的メモリと$O(n\log n)$の時間計算量でインプレースの多項式乗算が可能であることを示すこと。

提案手法

• 時間によるデシメーションを用いた、再帰的でない反復的TFTおよびITFTの設計。$L_1 \times L_2$変換への分解を用い、$L_1 = L/2$および$L_2 = 2$とすることで、再帰の深さとメモリ使用量を最小限に抑える。
• ビット反転インデックスを用いて、即時のルートの計算を実行し、すべてのルートを格納する必要を回避することで、データ依存性がある中でも$O(1)$の補助的メモリ空間を実現する。
• 変換をサイズ$L = 2^\ell$のブロックに分割する再帰的パーティショニング戦略を用い、$\ell = \lfloor \lg(r - q) \rfloor - 1$とすることで、各ブロックが出力バッファに収まるようにする。
• サイズ$L$の部分配列に対してインプレースでFFTを適用し、結果を出力バッファに蓄積し、最終的にインプレースの逆TFTを適用して完全な多項式積を回復する。
• 中間変換を出力バッファに直接書き込むようにアルゴリズムを構造化することで、一時的なストレージを最小限に抑え、$O(1)$の補助的メモリ空間を用いたアウト・オブ・プレイスな乗算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 切り捨てフーリエ変換およびその逆変換を、$O(1)$の補助的メモリ空間でインプレースに計算可能であり、$O(n\log n)$の時間計算量を維持できるか？
• RQ2 演算の順序を再配分し、即時のルート計算を実行することで、既存のTFTアルゴリズムの$O(n)$のメモリオーバーヘッドを排除できるか？
• RQ3 インプレースTFTおよびITFTアルゴリズムを用いて、TFTに基づくFFTによる多項式乗算を任意の次数の多項式に一般化できるか？
• RQ4 インプレースFFTに基づく乗算に必要な最小限の補助的メモリ空間は何か？また、完全にインプレースなアルゴリズムに$O(1)$のメモリ空間は十分か？

主な発見

• 著者らは、$O(n\log n)$の時間計算量と$O(1)$の補助的メモリ空間を達成する反復的かつインプレースのTFTおよびITFTアルゴリズムを提示し、従来の方法が発生させる$O(n)$のメモリオーバーヘッドを排除した。
• アルゴリズムは、$L_1 = L/2$および$L_2 = 2$を用いた時間によるデシメーションアプローチを採用しており、$O(\log n)$の再帰深さと、各レベルで$O(1)$のメモリ使用量を実現する。
• ビット反転順序で即時のルートの計算により、すべてのルートを格納する必要がなくなり、メモリ使用量を$O(1)$に削減できる。
• 入力が読み取り専用であっても、$O(1)$の補助的メモリ空間を用いて、任意の次数の多項式の乗算を$O((m+n)\log(m+n))$の時間で実行可能であり、出力バッファに直接結果を蓄積する。
• 係数空間をブロックに分割し、局所的なFFTを適用し、結果をインプレースで結合することで、完全な積$C = AB$が正しく計算される。