[論文レビュー] An Index for Superconformal Quantum Mechanics

Nick Dorey, Andrew Singleton|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$ \mathfrak{osp}(4^{*}|4)$対称性をもつ量子力学系の超共形指数を導入し、ユニタリな最低重量表現を分類し、連続的変形に対して不変な指数を定義する。この指数は短い multiplet と半短い multiplet のみを数え、三様性を持つハイパーケーラー・コーン上の $\sigma$-モデルに対しては、$ \mathfrak{su}(1|2)$対称性が保たれる超対称量子力学モデルのウィッテン指数と一致し、保護されたBPS状態の精製された数え上げを提供する。

ABSTRACT

We study quantum mechanical systems with $\mathfrak{osp}(4^{*}|4)$ superconformal symmetry. We classify unitary lowest-weight representations of this superconformal algebra and define an index which receives contributions from short and semi-short multiplets only. We consider the example of a quantum mechanical $σ$-model with hyper-Kähler target $\mathcal{M}$ equipped with a triholomorphic homothety. The superconformal index coincides with the Witten index of a novel form of supersymmetric quantum mechanics for a particle moving on $\mathcal{M}$ in a background magnetic field in which an unbroken $\mathfrak{su}(1|2)$ subalgebra of the superconformal algebra is linearly realised as a global symmetry.

研究の動機と目的

• 超共形代数 $ \mathfrak{osp}(4^{*}|4)$ のユニタリな最低重量表現を分類すること。
• モデルの連続的変形（超対称性を保存するもの）に対して不変な超共形指数を定義すること。
• 新規の超対称量子力学モデルに $ \mathfrak{su}(1|2)$ 全局的対称性をもつウィッテン指数との対応関係を確立すること。
• 特にインスタントンモジュライ空間を含むハイパーケーラー・コーン上の $\sigma$-モデルにおける保護されたBPS状態のスペクトルを計算すること。
• ヒルベルト級数およびペオンカーポリノミアルを用いて、半BPSおよび他の保護された multiplet の縮重の閉形式表現を導出すること。

提案手法

• 超共形指数はスレート型のスーパートレースとして定義される：$ I(t,y) = \mathrm{tr}\left[(-1)^F e^{-\beta\mathcal{H}} t^{\mathbb{T}} y^{\mathbb{N}} \right] $、ここで $\mathcal{H}$ はBPS状態上で消える。
• 指数は再結合によって長めの multiplet が形成されるのを防ぐために、短いおよび半短い multiplet のみからの寄与を受けるように構成される。
• 指数は、背景磁場をもつ超対称量子力学モデルにおけるウィッテン指数と関係づけられ、$ \mathfrak{su}(1|2)$ が全局面的対称性として実現される。
• ハイパーケーラー・コーンに対しては、等変シンプレクティック解体における局在化を用いて指数が計算され、超共形代数の部分代数が保存される。
• インスタントンモジュライ空間上の正則関数のヒルベルト級数は、指数の $y \to \infty$ での極限から抽出され、縮重度の生成関数が得られる。
• $1/2$ BPS multiplet $S(n,n)$ の縮重度は、$\sum_{j=1}^N j\ell(Y_j) = n$ を満たす全重 $K$ の $N$ 色付き分割の個数として与えられ、ボレル＝ムーアホモロジーの $b_{2r}$ と一致する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的マージンラッピングに対して不変な、$ \mathfrak{osp}(4^{*}|4)$ 対称性をもつ量子力学系の超共形指数をどのように定義できるか？
• RQ2 磁場をもつ超対称量子力学モデルにおいて、超共形指数とウィッテン指数との正確な対応関係は何か？
• RQ3 三様性を持つホモセティのハイパーケーラー・コーン上の $\sigma$-モデルの保護されたBPS状態は、$ \mathfrak{osp}(4^{*}|4)$ の既約表現にどのように分解されるか？
• RQ4 インスタントンモジュライ空間の位相的不変量を用いて、$1/2$ BPS multiplet $S(n,n)$ の正確な縮重度はどのように表されるか？
• RQ5 超共形指数から、インスタントンモジュライ空間上の正則関数のヒルベルト級数をどのように抽出できるか？

主な発見

• 超共形指数 $I(t,y)$ は理論の連続的変形に対して不変であり、長めの multiplet が再結合するのを避けるために、短いおよび半短い multiplet のみを数える。
• 三様性を持つホモセティをもつハイパーケーラー・コーン上の $\sigma$-モデルに対しては、超共形指数は $ \mathfrak{su}(1|2)$ 全局的対称性をもつ超対称量子力学モデルのウィッテン指数と一致する。
• $1/2$ BPS multiplet $S(n,n)$ の縮重度 $N^{(n,n)}$ は、$\sum_{j=1}^N j\ell(Y_j) = n$ を満たす全重 $K$ の $N$ 色付き分割の個数として与えられ、ボレル＝ムーアホモロジーの $b_{2r}$ と一致する。
• Poincaré多項式 $P^{(N,K)}(q) = \sum_r b_{2r} q^{2r}$ は、$q = y/t$ として $t \to 0$ での指数の極限として現れ、ナカジマの公式が回復される。
• インスタントンモジュライ空間上の正則関数のヒルベルト級数 $\mathrm{HS}(t,x,Z)$ は、指数の $y \to \infty$ での極限から得られ、$\mathrm{HS}(t,x,Z) = \sum_{\vec{Y}: ||\vec{Y}||=K} \prod_{i,j} \prod_{s \in Y_i} \mathrm{PE}\left[t^{g_{ij}(s)-1} x^{f_{ij}(s)} \frac{z_i}{z_j} (1+t^2) \right]$ となる。
• $SS(r/2,d-1,d-1)$ multiplet の縮重度 $N^{(j,d-1,d-1)}_R$ は、ヒルベルト級数を特徴関数 $\chi_R(x,Z)$ で展開することによって抽出され、$\mathrm{HS}_R(t) = N^{(d,d)}_R + N^{(d,d-1)}_R t + \sum_r N^{(r/2,d-1,d-1)}_R t^{2+r}$ となる。