[論文レビュー] An index formula for a bundle homomorphism of the tangent bundle into a vector bundle of the same rank, and its applications

Kentaro Saji, Masaaki Umehara+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2次元から偶数次元多様体へと、束同型写像に関するガウス＝ボネ型指数公式を一般化し、一般の $A_k$-特異点をもつ一貫した接束に対して位相的不変量を確立する。主な結果は、符号付きの奇数番号 $A_k$-特異点の数と、整合的な共向き性をもつ領域のオイラー乗数の和を用いて、被写体束のオイラー乗数を表す公式であり、これは表面論および超曲面幾何学における先行研究を拡張する。

ABSTRACT

In a previous work, the authors introduced the notion of `coherent tangent bundle', which is useful for giving a treatment of singularities of smooth maps without ambient spaces. Two different types of Gauss-Bonnet formulas on coherent tangent bundles on 22-dimensional manifolds were proven, and several applications to surface theory were given. Let $M^n$ ($n\ge 2$) be an oriented compact $n$-manifold without boundary and $TM^n$ its tangent bundle. Let $\mathcal E$ be a vector bundle of rank $n$ over $M^n$, and $φ:TM^n o \mathcal E$ an oriented vector bundle homomorphism. In this paper, we show that one of these two Gauss-Bonnet formulas can be generalized to an index formula for the bundle homomorphism $φ$ under the assumption that $φ$ admits only certain kinds of generic singularities. We shall give several applications to hypersurface theory. Moreover, as an application for intrinsic geometry, we also give a characterization of the class of positive semi-definite metrics (called Kossowski metrics) which can be realized as the induced metrics of the coherent tangent bundles.

研究の動機と目的

• 一貫した接束の2次元ガウス＝ボネ型指数公式を偶数次元多様体へと拡張すること。
• 一般の $A_k$-特異点をもつ束同型写像 $\varphi: TM^n \to \mathcal{E}$ の位相的不変量を特定すること。
• この公式を超曲面理論および内在的幾何学、特にコッソフスキー計量に応用すること。
• 指数公式を用いて、共向き可能なモリン計量を特徴付けること。
• 波フロントおよび特異曲面に関する先行結果を高次元へと一般化すること。

提案手法

• 一貫した接束を、統合条件 $D_X\varphi(Y) - D_Y\varphi(X) = \varphi([X,Y])$ を満たす束同型写像 $\varphi: TM^n \to \mathcal{E}$ として定義する。
• $k=2,\dots,n$ に対して $A_k$-特異点を定義し、奇数 $k$ に対して正負を定義する。
• $\mathcal{E}$ からの計量および接続の引き戻しを用いて、$M^n$ 上に誘導計量 $ds^2_\varphi$ を定義する。
• 部分多様体および特異集合のオイラー乗数を用いた位相的技法を適用し、指数公式を導出する。
• 特に偶数次元 $n=2m$ に対して、一般の $A_k$-特異点のみを仮定した場合に公式が成り立つことを証明する。
• 計量および接続の引き戻しを用いて、コッソフスキー計量と一貫した接束との間の対応関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元ガウス＝ボネ公式を一貫した接束へと高次元偶数次元多様体へ一般化する方法は何か？
• RQ2 一般の特異点をもつ束同型写像 $\varphi: TM^n \to \mathcal{E}$ に対して、ベクトル束 $\mathcal{E}$ のオイラー乗数を支配する位相的不変量は何か？
• RQ3 $A_k$-特異点、特に奇数 $k$ の場合、多様体のグローバル位相にどのように寄与するか？
• RQ4 正定値半計量（コッソフスキー計量）が一貫した接束の誘導計量として生じるための条件は何か？
• RQ5 指数公式を用いて、コンパクトな偶数次元多様体上のモリン計量を特徴付けることができるか？

主な発見

• 偶数次元コンパクト向き付け可能多様体 $M^{2m}$ に対して、ベクトル束 $\mathcal{E}$ のオイラー乗数は、$\chi_{\mathcal{E}} = \chi(M^{2m}_+) - \chi(M^{2m}_-) + \sum_{j=1}^{m} \left( \chi(\mathfrak{A}^{+}_{2j+1}) - \chi(\mathfrak{A}^{-}_{2j+1}) \right)$ で与えられる。ここで $\mathfrak{A}^{\pm}_{2j+1}$ は正および負の $A_{2j+1}$-特異点の集合である。
• この公式は2次元の場合に一般化される：$n=2$ のとき、$\chi_{\mathcal{E}} = \chi(M^2_+) - \chi(M^2_-) + \#\mathfrak{A}^+_3 - \#\mathfrak{A}^-_3$ に簡略化され、波フロントの既知の結果を回復する。
• 多様体 $M^n$ 上のコッソフスキー計量 $ds^2$ が、誘導された計量および接続が全多様体上で統合条件 (1.1) を満たす場合に限り、一貫した接束を誘導する。
• 多様体 $M^{2m}$ 上の共向き可能なモリン計量は、指数公式 (1.4) を満たし、[7, Prop. 3.3] を一般化する。
• 多様体 $M^{2m}$ 上の共形平坦計量 $g$ に対して、その双対計量 $\check{g}$ が $2 \leq k \leq 2m+1$ のみの $A_k$-特異点をもつならば、特異集合は $M^{2m}_\pm$ をシューランテンテンソルの行列式の符号で定義した場合に指数公式を満たす。
• バーム関数を用いたベクトル場の拡張および一般の場への近似により、特異点が一般の零点をもつ特徴的ベクトル場の存在が示される。