[論文レビュー] An index formula for hypersurfaces which admit only generic corank one singularities

Kentaro Saji, Masaaki Umehara+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2012

Geometry and complex manifolds被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コンpactなn次元多様体上の接束とランクnのベクトル束の間の同相写像について、その写像が一様に一般のコランク1特異点しか持たないという条件下で、ガウス・ボネ型のインデックス公式を一般化する。主な貢献は、従来の整合性のある接束に関する結果を拡張し、特異点を伴う超曲面理論およびコッソフスキー計量の内稟幾何学への新たな応用を可能にする位相的インデックス公式の確立である。

ABSTRACT

In a previous work, the authors introduced the notion of `coherent tangent bundle', which is useful for giving a treatment of singularities of smooth maps without ambient spaces. Two different types of Gauss-Bonnet formulas on coherent tangent bundles on 22-dimensional manifolds were proven, and several applications to surface theory were given. Let $M^n$ ($n\ge 2$) be an oriented compact $n$-manifold without boundary and $TM^n$ its tangent bundle. Let $\mathcal E$ be a vector bundle of rank $n$ over $M^n$, and $\varphi:TM^n o \mathcal E$ an oriented vector bundle homomorphism. In this paper, we show that one of these two Gauss-Bonnet formulas can be generalized to an index formula for the bundle homomorphism $\varphi$ under the assumption that $\varphi$ admits only certain kinds of generic singularities. We shall give several applications to hypersurface theory. Moreover, as an application for intrinsic geometry, we also give a characterization of the class of positive semi-definite metrics (called Kossowski metrics) which can be realized as the induced metrics of the coherent tangent bundles.

研究の動機と目的

• 整合性のある接束上で既に確立されたガウス・ボネ公式を、一般のコランク1特異点しか持たないより広いクラスのバンドル同相写像へと拡張すること。
• コンパクトで向き付け可能なn次元多様体上に存在する接束からランクnのベクトル束への向き付けられたバンドル同相写像に対して、位相的インデックス公式を確立すること。
• 一般化されたインデックス公式を、特に誘導計量の特異点を伴う問題に応用すること。
• 整合性のある接束上に誘導計量として実現可能な正定値半定値計量（コッソフスキー計量）のクラスを特徴付けること。
• 埋め込みを必要としない、環境空間に依存しない平滑写像の特異点を扱うための枠組みを提供すること。

提案手法

• 環境空間への埋め込みを必要としない、特異点を内因的に扱うために、整合性のある接束の形式的枠組みを用いる。
• バンドル同相写像 φ: TM^n → ℰ の特異点集合を解析するために微分位相的技法を適用し、一様に一般のコランク1特異点を仮定する。
• 特性類とバンドルのオイラー類に基づいて導出された一般化されたガウス・ボネ型公式を、特異的状況に適応して用いる。
• 写像 φ の特異点集合が余次元 n−1 の部分多様体であるという仮定に依拠し、特異点型の横断性と可積分性を保証する。
• インデックス公式を用いて特異点集合の位相的不変量を計算し、多様体のグローバル不変量と関連付ける。
• インデックス公式を用いて、正定値半定値計量（コッソフスキー計量）が整合性のある接束上に誘導計量として現れるための条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整合性のある接束上のガウス・ボネ公式は、一様に一般のコランク1特異点しか持たないバンドル同相写像へと拡張可能か？
• RQ2 バンドル同相写像の特異点集合の位相的不変量は、その基盤となる多様体のグローバルトポロジーとどのように関係するか？
• RQ3 正定値半定値計量が整合性のある接束上に誘導計量として実現可能であるための必要十分条件は何か？
• RQ4 一般化されたインデックス公式は、特異点を伴う超曲面にどのような形で応用可能か？
• RQ5 整合性のある接束形式による内因的アプローチは、曲面および超曲面理論における特異点の研究をどのように改善するか？

主な発見

• コンパクトで向き付け可能なn次元多様体上に、一様に一般のコランク1特異点しか持たない向き付けられたバンドル同相写像 φ: TM^n → ℰ に対して、位相的インデックス公式が確立された。
• このインデックス公式は、従来の整合性のある接束上でのガウス・ボネ結果を、より広いクラスの写像へと一般化し、特異点を伴う超曲面への適用可能性を拡張した。
• 公式により、特異点集合上の局所的データを用いてグローバル不変量を計算可能となり、特異点型と位相的不変量との関連が明確になった。
• 本稿では、コッソフスキー計量が、正確に整合性のある接束上に誘導計量として現れる正定値半定値計量のクラスとして特徴付けられた。
• 超曲面理論への応用が得られ、誘導計量の特異点集合に関する位相的制約が導出された。
• 内因的枠組みにより、環境空間への埋め込みを必要としない、平滑写像の特異点論的取り扱いが可能になった。