[論文レビュー] An index theorem for families of elliptic operators invariant with respect to a bundle of Lie groups

Victor Nistor|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、単連結な可解リー群のバンドルによる自由作用に関して不変な、楕円型微分作用素の族に対する等変族インデックス定理を確立する。非可換幾何学およびフェドソフ積を用いて、局所インデックス公式を導出し、アティヤ＝シンガー型の公式によりインデックスのチャーン類を計算する。同時に、s=0におけるエータ不変量の正則性を証明し、D⁻¹D′を含むトレース公式も導出する。

ABSTRACT

Abstract. We define the equivariant family index of a family of elliptic operators invariant with respect to the free action of a bundle G of Lie groups. If the fibers of G → B are simply-connected solvable, we then compute the Chern character of the (equivariant family) index, the result being given by an Atiyah-Singer type formula. We also study traces on the corresponding algebras of pseudodifferential operators and obtain a local index formula for such families of invariant operators, using the Fedosov product. For topologically non-trivial bundles we have to use methods of non-commutative geometry. We discuss then as an application the construction of “higher-eta invariants,” which are morphisms Kn(Ψ ∞ inv (Y)) → C. We also obtain new proofs of the regularity at s = 0 of η(D0, s), the eta function of D0, and of the relation η(D0, s) = π−1Tr1(D −1D ′) (here D = D0 + ∂t, D ′ = [D,t]). The algebras of invariant pseudodifferential operators that we study, ψ ∞ inv (Y) and Ψ ∞ inv (Y), are generalizations of “parameter dependent ” algebras of pseudodifferential operators (with parameter in Rq), so our results provide also an index theorem for

研究の動機と目的

• 単連結な可解リー群のバンドルによる自由作用に関して不変な楕円型作用素の等変族インデックスを定義し、計算する。
• パラメータに依存する擬微分作用素代数を、非自明なバンドル上の等変設定に一般化する。
• 非可換幾何学におけるフェドソフ積を用いて、局所インデックス公式を確立する。
• K理論における不変擬微分作用素の代数から複素数へのモルフィズムとしての高次エータ不変量を構成する。
• s=0におけるエータ関数の正則性およびトレース恒等式 η(D₀,s) = π⁻¹Tr₁(D⁻¹D′) の新しい証明を提供する。

提案手法

• 単連結な可解リー群のバンドル G → B による自由作用に関して不変な作用素の等変族インデックスを定義する。
• チャーン類を用いてインデックスを特徴類に翻訳し、アティヤ＝シンガー型の公式により計算する。
• 位相的に非自明なバンドルを取り扱うために、非可換幾何学の技術を適用する。
• フェドソフ積を用いて、不変擬微分作用素の代数へのトレースを構成する。
• フェドソフ積と循環コホモロジーの手法を組み合わせることで、局所インデックス公式を導出する。
• トレース公式を用いて、恒等式 η(D₀,s) = π⁻¹Tr₁(D⁻¹D′) と s=0 における η(D₀,s) の正則性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単連結な可解リー群のバンドルに関して不変な楕円型作用素の等変族インデックスは、どのように定義され、計算されるか？
• RQ2 等変族インデックスのチャーン類は、特徴類の観点からどのように表現されるか？
• RQ3 フェドソフ積を用いて、このような族のための局所インデックス公式はどのように構成されるか？
• RQ4 非可換幾何学は、リー群の位相的に非自明なバンドルを取り扱う際に果たす役割は何か？
• RQ5 高次エータ不変量は、不変擬微分作用素のK理論からどのように生じるか？

主な発見

• 等変族インデックスのチャーン類は、アティヤ＝シンガー型の公式により計算され、インデックスの位相的表現が得られる。
• 不変擬微分作用素の代数にフェドソフ積を用いて、局所インデックス公式が導出される。
• エータ関数 η(D₀,s) が s=0 で正則であることが示され、重要な解析的問題が解決される。
• 恒等式 η(D₀,s) = π⁻¹Tr₁(D⁻¹D′) が確立され、エータ不変量が D⁻¹D′ のトレースと関連づけられる。
• 高次エータ不変量は、Kn(Ψ∞inv(Y)) → C というモルフィズムとして構成され、古典的エータ不変量が拡張される。
• 代数 Ψ∞inv(Y) および ψ∞inv(Y) は、パラメータに依存する擬微分作用素代数を一般化し、そのインデックス理論が等変設定に拡張される。