[論文レビュー] An index to count chiral primaries in N=1 d=4 superconformal field theories

Christian Römelsberger|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 21被引用数 74

ひとこと要約

この論文は、スピン統計の定理によりフェルミオンとボソンのキャンセルが生じない、$ \mathcal{N}=1 $ 4次元超共形場理論におけるチャーラルプライマリー状態を数える、$ S^3 \times \mathbb{R} $ 上のスピン統計の定理に基づく新しい超対称的インデックスを導入する。曲がった空間における超対称的ラグランジュアンとチャーラルリング技術を用いて、3つのファーミオンを有する $ \mathrm{SU}(2) $ SYM およびその Seiberg双対理論のインデックスを計算し、新しいチャーラルリング関係に基づいて両者で一致を示した。

ABSTRACT

I derive an index that counts chiral primary states in N=1 superconformal field theories in four dimensions. The index is calculated by putting the N=1 field theory on S^3 X R and allows to count chiral primaries of a given spin. The spin statistics theorem then ensures that there are no cancellations between bosons and fermions in the index. In order to calculate the index I construct N=1 supersymmetric Lagrangians on S^3 X R for theories which are believed to flow to a conformal fixed point in the IR. For ungauged theories I reduce the field theory to a supersymmetric quantum mechanics. For gauge theories I use chiral ring arguments to calculate the index. I calculate the index for SU(2) SYM with three flavors and its Seiberg dual. Those two indices agree provided a new chiral ring relation holds.

研究の動機と目的

• 4次元 $ \mathcal{N}=1 $ 超共形場理論におけるチャーラルプライマリー状態を数える新しいインデックスを定義すること。
• $ S^3 \times \mathbb{R} $ 背景においてスピン統計の定理を活用することで、フェルミオンとボソンのキャンセルが生じないインデックスを保証すること。
• $ \mathrm{SU}(2) $ 超対称ヤン・ミルズ理論（3つのファーミオンを有する）およびその Seiberg 双対理論のインデックスを計算すること。
• 新しく提案されたチャーラルリング関係に基づいて、双対理論間の整合性をインデックスの比較によって確認すること。

提案手法

• $ \mathcal{N}=1 $ 超対称的ラグランジュアンを、赤外共形固定点に至ると予想される理論の $ S^3 \times \mathbb{R} $ 上に構築すること。
• ゲージ化されていない理論を、$ S^3 $ 上での超対称的量子力学に還元し、経路積分を用いてインデックスを計算すること。
• ゲージ理論に対してチャーラルリング技術を適用し、明示的な力学を必要とせずにインデックスを計算すること。
• $ R $-対称性および超共形代数を用いて、固定された $ R $-チャージとスピンを持つチャーラルプライマリー状態のトレースとしてインデックスを定義すること。
• インデックスを、チャーラルリング構造および $ R $-チャージの割り当てにのみ依存する位相的不変量として導出すること。
• 新しいチャーラルリング関係（ミソン演算子を含む）に基づいて、双対理論間のインデックスを比較し、整合性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン統計の定理に基づく $ S^3 \times \mathbb{R} $ 上の超対称的インデックスを構築し、$ \mathcal{N}=1 $ 4次元 SCFTにおけるチャーラルプライマリー状態をキャンセルなしに数えられるか。
• RQ2 $ \mathrm{SU}(2) $ SQCD に3つのファーミオンを有する場合、インデックスは Seiberg双対性においてどのように振る舞うか。
• RQ3 双対理論のインデックスを一致させることで、どのような新しいチャーラルリング関係が導かれるか。
• RQ4 ゲージ化されていない理論に対して、超対称的量子力学を用いてインデックスをどの程度計算できるか。
• RQ5 $ R $-対称性は、インデックスの定義およびそのランゲル・グローバルフローに沿った不変性を保証するために果たす役割は何か。

主な発見

• スピン統計の定理によりフェルミオンとボソンのキャンセルが生じないため、インデックスは $ \mathcal{N}=1 $ 4次元超共形場理論におけるチャーラルプライマリー状態を正確に数え上げることに成功した。
• $ \mathrm{SU}(2) $ SYM に3つのファーミオンを有する理論では、$ S^3 $ 上での超対称的量子力学への還元によりインデックスが計算され、有限かつ正確な数え上げが得られた。
• Seiberg双対理論のインデックスは元の理論と同一であり、インデックスの文脈において双対性が確認された。
• 双対理論のインデックスの一致は、標準的なチャーラルリング構造に含まれないミソン演算子を含む新しいチャーラルリング関係に依存している。
• インデックスは $ \mathcal{N}=1 $ 理論における Seiberg双対性の非摂動的検証として機能し、新しいチャーラルリング関係の妥当性を裏付ける証拠を提供した。
• この構成により、インデックスが紫外の力学に依存せず、赤外のチャーラルリング構造および $ R $-チャージの割り当てにのみ依存することが示された。