[論文レビュー] An inductive Julia-Caratheodory theorem for Pick functions in two variables

J. E. Pascoe|arXiv (Cornell University)|May 27, 2016

Meromorphic and Entire Functions参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、漸近的挙動とモーメント条件との間の帰納的枠組みを導入することで、2変数Pick関数に対する高次のJulia-Carathéodory定理を確立する。関数が中間のLöwnerクラス $ olimits^{N-}$ に属するための必要十分条件は、その剰余の虚部が $2N+1$ 階で消えることであると示され、実係数のモーメントが $2N+1$ 階まで存在するのは、$2N+1$ 階導関数が多項式である場合に限ることを示し、1変数の古典的結果を2変数に一般化する。

ABSTRACT

We study the asymptotic behavior of Pick functions, analytic functions which take the upper half plane to itself. We show that if a two variable Pick function $f$ has real residues to order $2N-1$ at infinity and the imaginary part of the remainder between $f$ and this expansion is of order $2N+1,$ then $f$ has real residues to order $2N$ and directional residues to order $2N+1.$ Furthermore, $f$ has real residues to order $2N+1$ if and only if the $2N+1$-th derivative is given by a polynomial, thus obtaining a two variable analogue of a higher order Julia-Carathéodory type theorem.

研究の動機と目的

• 無限遠における高次の漸近理論を構築することで、古典的Julia-Carathéodory定理を2変数Pick関数へ拡張すること。
• 残留およびモーメント条件を用いてLöwnerクラス $ olimits^N$ と $ olimits^{N-}$ を特徴づけること。
• 剰余の虚部の有界性および消え具合を用いて、$ olimits^{N-1}$, $ olimits^{N-}$, $ olimits^N$ 間の移行を帰納的に特徴づける基準を確立すること。
• $l^2(\mathbb{Z}_{2(n-1)})$ 上の修正左正則表現を用いた反例を構成することで、1変数とは異なり2変数ではLöwnerクラスの階層が崩壊しないことを示すこと。

提案手法

• Pick関数を作用素内積として表す2変数Nevanlinna表現を用い、モーメント理論的解析を可能にする。
• Agler-McCarthyのベクトルモーメント理論を適用し、漸近的正則性を作用素的モーメント条件に翻訳する。
• スペクトル理論と単調収束を用いて、無限遠における非接線的経路に沿った関数の虚部の漸近的挙動を分析する。
• リゾルベント関連ベクトルの内積として定義される $r_k(z)$ 関数を用いて、残留の再帰的構造を導出する。
• 方向残留およびスカラー／ベクトルモーメントの概念を導入し、$2N+1$ 階までの正則性を特徴づけ、多項式導関数と関連付ける。
• 修正左正則表現を用いた $l^2(\mathbb{Z}_{2(n-1)})$ 上の反例を構成し、$ olimits^N \neq olimits^{N-}$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2変数Pick関数が $2N-1$ 階まで実残留を持つとき、$2N$ 階までの実残留および $2N+1$ 階までの方向残留を持つための条件は何か？
• RQ2 中間のLöwnerクラス $ olimits^{N-}$ に属する関数が、いつ全Löwnerクラス $ olimits^N$ に属するか？
• RQ3 スカラーおよびベクトルモーメントの存在と、無限遠におけるPick関数の虚部の漸近展開との正確な関係は何か？
• RQ4 2変数理論は1変数の場合とどのように異なるか、特にLöwnerクラス階層の崩壊に関する点で。
• RQ5 2変数Pick関数の $2N+1$ 階導関数は、モーメント条件および残留構造に関してどのように特徴づけられるか？

主な発見

• 2変数Pick関数 $f$ が $2N+1$ 階まで実残留を持つための必要十分条件は、$f$ の $2N+1$ 階導関数が多項式であることである。これは古典的Julia-Carathéodory定理の精神を完全に反映する特徴づけである。
• 関数 $f$ が $ olimits^N$ に属するための必要十分条件は、$f$ が $ olimits^{N-}$ に属し、かつ $2N-1$ 階展開を引いた剰余の虚部が $2N+1$ 階で消えることである。これにより高次の正則性が保証される。
• 2変数では階層 $ olimits^N \neq \nolimits^{N-}$ が成り立つ。これは、$r_k(z)$ が $k < 2n-1$ では多項式であるが $r_{2n-1}(z)$ が多項式でない反例により明示的に示された。
• すべての $b \in (\mathbb{R}^+)^2$ に対して、$s^{2N-1} \text{Im}[h(isb) - \sum_{|n|\leq 2N-3} \rho_n/(isb)^n]$ の虚部が有界であるための必要十分条件は $h \in \nolimits^{N-}$ であることである。これは重要な帰納的基準を確立する。
• 方向残留 $r_{2N-1}(b)$ は $-\sum_{|n|=2N-1} \rho_n / b^n$ に等しく、残留と高次剰余の間の明確な代数的関係を示している。
• 関数 $f(z) = \langle (A - z_Y)^{-1} \alpha, \alpha \rangle$ は $ olimits^{N-}$ には属するが $ olimits^N$ には属さず、$r_{2n-1}(z)$ が多項式でないため、$ olimits^N \subsetneq \nolimits^{N-}$ の厳密包含が証明された。