[論文レビュー] An inequality for the trace of matrix products, using absolute values

Bernhard Baumgartner|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 2被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、行列の絶対値を用いた新しいトレース不等式を導入し、|Tr(A*B)| ≤ (Tr|A||B|)^{1/2} (Tr|A*||B*|)^{1/2} を証明する。この不等式は、行列のホルダー不等式を簡潔かつ自己完結的に証明でき、ヒルベルト＝シュミット作用素や中間行列、異なる指数を含む一般化形へと拡張可能である。

ABSTRACT

The absolute value of matrices is used in order to give inequalities for the trace of products. An application gives a very short proof of the tracial matrix Hoelder inequality

研究の動機と目的

• 複素行列に対する演算子の絶対値を用いた鋭いトレース不等式を確立すること。
• このトレース不等式を用いて、行列のホルダー不等式の短く自己完備な証明を提供すること。
• 中間行列、異なる指数、無限次元のヒルベルト＝シュミット作用素を含む不等式への一般化を図ること。
• |A| と |A*| がトレース不等式において果たす役割を明らかにすること、特に A が正規でない場合の挙動を明確にすること。
• 特異値やユニタリに不変なノルムに基づく既存の評価と、新しい不等式を比較すること。

提案手法

• 行列 A の絶対値を |A| = (A*A)^{1/2} および |A*| = (AA*)^{1/2} として定義する。
• A*A および AA* の標準直交固有ベクトル基底を用いて、トレース Tr(A*B) を行列成分の和に分解する。
• 和に対してコーシー＝シュワルツの不等式を適用し、|A||B| および |A*||B*| に依存する項を分離する。
• |A|, |A*|, |B|, |B*| のスペクトル分解を活用し、特異値と内積を用いてトレースを表現する。
• 有限ランク作用素による近似と極限をとることで、不等式をヒルベルト＝シュミット作用素へと拡張する。
• 中間行列 M および N を挿入するか、絶対値に異なる指数 α および β を導入することで、不等式を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 A*B のトレース不等式が、|A|, |A*|, |B|, |B*| のみを用いて導出可能か？
• RQ2 この不等式は、既存の手法と比較して行列のホルダー不等式の証明をより簡潔に可能にするか？
• RQ3 提案されたトレース不等式において等号が成立する条件は何か？
• RQ4 A と B が非正規行列である場合、不等式はどのように振る舞うか？
• RQ5 この不等式は無限次元のヒルベルト＝シュミット作用素へと拡張可能か？

主な発見

• すべての複素 m×n 行列 A および B に対して、不等式 |Tr(A*B)| ≤ (Tr|A||B|)^{1/2} (Tr|A*||B*|)^{1/2} が成り立つ。
• 等号は A と B がランク1行列である場合に成立し、2×2 の例で検証された。
• この不等式により、p,q ≥ 1 かつ 1/p + 1/q = 1 を満たす行列のホルダー不等式が、新たな簡潔な証明を可能にする。
• 中間行列 M および N を含む一般化においても不等式は鋭いままであり、|Tr(MA*NB)| ≤ (TrM|A|M*|B|)^{1/2} (TrN*|A*|N|B*|)^{1/2} が成り立つ。
• ヒルベルト＝シュミット作用素に対しては、有限ランク作用素による近似と極限をとることで、無限次元への拡張が可能である。
• 標準的評価 |Tr(A*B)| ≤ Tr|A*B| よりも厳密に鋭い評価であることが、反例により示された（新規の評価は 1、従来の評価は √2 を与える）。