[論文レビュー] An Inexact Feasible Interior Point Method for Linear Optimization with High Adaptability to Quantum Computers

Mohammadhossein Mohammadisiahroudi, Ramin Fakhimi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2023

Advanced Optimization Algorithms ResearchMathematics被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、線形最適化のための不正確な実行可能内点法（IF-IPM）を提案する。この手法は、新規の直交空間系（OSS）を用いて不正確だが実行可能なニュートンステップを生成し、量子線形系アルゴリズム（QLSAs）との効率的統合を可能にする。時間計算量は $\tilde{\cal O}(n^{2.5}L\tilde{\nu}^2\tilde{\nu}^5)$ に達し、先行する量子IPMを上回り、古典的IPMの計算量と一致する。反復的精錬により、条件数の増大とソルバー誤差の影響が軽減される。

ABSTRACT

The use of quantum computing to accelerate complex optimization problems is a burgeoning research field. This paper applies Quantum Linear System Algorithms (QLSAs) to Newton systems within Interior Point Methods (IPMs) to take advantage of quantum speedup in solving Linear Optimization (LO) problems. Due to their inexact nature, QLSAs can be applied only to inexact variants of IPMs. Existing IPMs with inexact Newton directions are infeasible methods due to the inexact nature of their computations. This paper proposes an Inexact-Feasible IPM (IF-IPM) for LO problems, using a novel linear system to generate inexact but feasible steps. We show that this method has $\Ocal(\sqrt{n}L)$ iteration complexity, analogous to the best exact IPMs, where $n$ is the number of variables and $L$ is the binary length of the input data. Moreover, we examine how QLSAs can efficiently solve the proposed system in an iterative refinement (IR) scheme to find the exact solution without excessive calls to QLSAs. We show that the proposed IR-IF-IPM can also be helpful to mitigate the impact of the condition number when a classical iterative method, such as a Conjugate Gradient method or a quantum solver is used at iterations of IPMs. After applying the proposed IF-IPM to the self-dual embedding formulation, we investigate the proposed IF-IPM's efficiency using the QISKIT simulator of QLSA.

研究の動機と目的

• 不正確なニュートンステップでさえも反復点の実行可能性を保つ実行可能IPMの変種を開発すること。これは、既存の不正確な非実行可能IPMの制限を克服することを目的とする。
• IPM用に不正確だが実行可能な探索方向を生成する新しい線形系（直交空間系）を設計すること。
• ニュートン系が適切に条件付けられており、反復的精錬に適していることを保証することで、量子線形系アルゴリズム（QLSAs）との効率的統合を可能にすること。
• 反復複雑度を $\tilde{\cal O}(\tilde{\nu}L)$ に達し、最高の古典的IPMと同等の性能を達成すること。同時に、不正確な解法においても実行可能性を維持すること。
• 反復的精錬スキームを用いて、増大する条件数とQLSA誤差の影響を低減すること。これは、量子および古典的設定の両方で有効である。

提案手法

• 探索方向を直交部分空間に射影することで、不正確な解が実行可能のまま保たれるようにする、新規の直交空間系（OSS）を提案する。
• OSS系を、不正確な解に対しても原双対の実行可能性を保つ対称的かつスパースな線形系として定式化する。
• OSS系を実行可能IPMフレームワークに統合し、すべての反復点が実行可能領域の内部に留まるように保証する。
• 量子線形系アルゴリズム（QLSAs）を用いてOSS系を解き、量子加速IPMにおいて線形系の解法で量子高速化を活用する。
• QLSAの精度が低い場合の条件数の増大と誤差の影響を軽減するために、低精度解で再初期化する反復的精錬（IR）スキームを実装する。
• IF-IPMに古典的反復ソルバー（例：共役勾配法）を組み合わせることで、高精度の量子または古典的ソルバーへの依存を減らし、耐障害性を向上させる。

Figure 1: The effect of linear system solver error on the number of iterations of the self-dual embedding IF-IPM.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不正確なニュートンステップでさえも反復点の実行可能性を保つ不正確なIPMを設計可能か？既存の不正確な非実行可能IPMとは異なり、実行可能性が維持されるか？
• RQ2 提案された直交空間系（OSS）は、標準的な手法（正規方程式や拡張系）と比較して、より良好な条件数を達成するか？
• RQ3 実行可能IPMフレームワーク内でQLSAsを効果的に使用可能か？収束性や実行可能性が損なわれないか？
• RQ4 反復的精錬は、量子加速IPMにおける増大する条件数とQLSA誤差の影響を顕著に軽減するか？
• RQ5 QLSAsまたは古典的反復ソルバーと組み合わせた場合の、提案されたIF-IPMの理論的時間計算量は何か？また、既存の量子および古典的IPMと比較してどうか？

主な発見

• 提案されたIF-IPMは、不正確な解法を用いても反復複雑度 $\tilde{\cal O}(\tilde{\nu}L)$ を達成し、最高の古典的IPMと同等の性能を示す。
• 直交空間系（OSS）の条件数は $\tilde{\nu}^{-1}$ の割合で増大するが、正規方程式や拡張系の $\tilde{\nu}^{-1}$ と比較して遅やかであり、不正確な解法においてもより安定している。
• 実験的結果から、OSS系は、良好に条件付けられた問題、悪条件の問題、退化問題のすべてにおいて、実行可能性を維持し、正規方程式や拡張系よりも良好な条件付けを示す。
• 反復的精錬は、ニュートン系の条件数の増大を効果的に抑制し、収束性を損なわずに低精度のQLSAsや古典的ソルバーの使用を可能にする。
• IR-IF-QIPMは時間計算量 $\tilde{\cal O}_{n,\tilde{\nu}_Q,\tilde{\nu},\tilde{\nu}^0,L}(n^{2.5}L\tilde{\nu}_Q^2\tilde{\nu}^5)$ を達成し、IR-II-QIPMを上回り、収束性を保つ量子IPMの中で最高の既知の複雑度を達成する。
• 古典的共役勾配法を用いたIR-IF-IPMは、$\tilde{\cal O}_{\tilde{\nu}^0,L}(n^{2.5}L\tilde{\nu}_Q\tilde{\nu}^2)$ の計算量を達成し、$n$ や条件数に依存する点で、古典的IPMを上回る性能を示す。

(a) The smallest singular value of matrix $A^{\prime}$