[論文レビュー] An Infinite Family of Circulant Graphs with Perfect State Transfer in Discrete Quantum Walks

Hanmeng Zhan|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、正則グラフ上のアーキ・リバーサルグローバー散歩における完全状態転送の完全なスペクトル的特徴付けを提示し、$n \equiv 2 \pmod{4}$ かつ対称的生成集合を有する $X(\bbZ_n, \tau)$ の形をした4-正則巡回グラフの無限族を構成した。この無限族は、反対側の頂点間で完全状態転送を示す最初の例である。この結果は、従来のサイクルやダイヤモンド鎖に限られていた例を越えるものである。

ABSTRACT

We study perfect state transfer in Kendon's model of discrete quantum walks. In particular, we give a characterization of perfect state transfer purely in terms of the graph spectra, and construct an infinite family of $4$-regular circulant graphs that admit perfect state transfer. Prior to our work, the only known infinite families of examples were variants of cycles and diamond chains.

研究の動機と目的

• ケンドンのアーキ・リバーサルグローバー散歩モデルにおける完全状態転送の完全なスペクトル的特徴付けを提供すること。
• 既知の例（サイクルやダイヤモンド鎖など）を越えて、完全状態転送をサポートする新しいグラフクラスの特定および構成すること。
• 固有値のサポートとスペクトル分解を用いて、正則グラフにおける完全状態転送が発生する条件を確立すること。
• グラフの対称性と巡回構造が決定的量子状態転送を可能にする役割を調査すること。
• 遷移ダイナミクスと代数的グラフ理論およびユニタリ行列の固有値スペクトルを結びつけることで、離散量子散歩の理解を拡張すること。

提案手法

• アーキ・リバーサルグローバー散歩モデルを用い、$U = R(I \otimes G)$ で定義される遷移行列 $U$ を使用する。ここで $R$ はアーキの反転を、$G$ はグローバー・コイン演算子を表す。
• 二反射ユニタリ行列からのスペクトル分解技術を適用し、$P$ と $Q$ の射影を用いて $U$ のスペクトルを分析する。
• 頂点の固有値サポートと行列 $S = L^*K$ の構造を介して、完全状態転送のスペクトル的特徴付けを導出する。
• $n \equiv 2 \pmod{4}$ かつ対称的生成集合 $\tau$ を有する4-正則巡回グラフ $X(\bbZ_n, \tau)$ の無限族を構成する。
• 完全状態転送が成立するための条件として、$\frac{d}{2}(z + z^{-1})$ が単位根であることが必要であり、これによりチェビシェフ多項式および円分因子と関連づけられる。
• $n = 6, 10, 14$ の明示的例を用いて検証し、特定の時刻で反対側の頂点間で完全状態転送が発生することを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則グラフにおいて、アーキ・リバーサルグローバー散歩モデルで完全状態転送を保証するスペクトル的条件は何か？
• RQ2 反対側の頂点間で完全状態転送をサポートする4-正則巡回グラフの無限族を構成できるか？
• RQ3 巡回グラフにおける生成集合 $\tau$ の構造が完全状態転送の発生に与える影響は何か？
• RQ4 完全状態転送がないにもかかわらず、きれいな良い状態転送を示すグラフは存在するか？
• RQ5 初期状態分布に依存せずに、完全状態転送をグラフスペクトルの観点から純粋に特徴付けられるか？

主な発見

• アーキ・リバーサルグローバー散歩における完全状態転送は、出発頂点の固有値サポートが単位根を含む特定のスペクトル的条件を満たす場合にかつその場合に限り成立する。
• $n \equiv 2 \pmod{4}$ かつ対称的 $\tau$ を有する4-正則巡回グラフ $X(\bbZ_n, \tau)$ の無限族は、反対側の頂点間で完全状態転送を示す。
• $n = 6, 10, 14$ の場合、明示的構成により、時刻 $k = n/2$ で完全状態転送が発生し、忠実度は正確に1である。
• この構成はサイクルやダイヤモンド鎖を越えて一般化され、完全状態転送を示す非サイクルベースの例として、初めて知られる無限族を提供する。
• 完全状態転送のスペクトル的条件は、$\frac{d}{2}(z + z^{-1})$ が単位根であるかどうかの確認に帰着され、これによりチェビシェフ多項式および円分体と関連づけられる。
• 本手法により、任意の正則グラフについて、完全状態転送の完全な特徴付けがグラフスペクトルの観点から得られ、アルゴリズムによる検証が可能になる。