[論文レビュー] An infinite family of excluded minors for strong base-orderability

Joseph E. Bonin, Thomas J. Savitsky|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、イングルトンの例を一般化することで、強基底順序可能性の除外最小因子の無限族を構成し、彼が特定したマトロイドのうち無限個が、基底順序可能性和ギャモイドの両方の除外最小因子であることを証明する。また、基底順序可能性と強基底順序可能性の間の階層としてk-基底順序可能性を導入し、k-基底順序可能マトロイドが完全クラスを形成することを示し、構築されたマトロイドが(k−1)-基底順序可能ではあるがk-基底順序可能でないことを示し、強基底順序可能性の除外最小因子としての役割を確立する。

ABSTRACT

We discuss a conjecture of Ingleton on excluded minors for base-orderability, and, extending a result he stated, we prove that infinitely many of the matroids that he identified are excluded minors for base-orderability, as well as for the class of gammoids. We prove that a paving matroid is base-orderable if and only if it has no minor that is isomorphic to the cycle matroid of the complete graph on four vertices. For each k that is at least 2, we define the property of k-base-orderability, which lies strictly between base-orderability and strong base-orderability, and we show that k-base-orderable matroids form what Ingleton called a complete class. By generalizing an example of Ingleton, we construct a set of matroids, each of which is an excluded minor for k-base-orderability, but is (k-1)-base-orderable; the union of these sets, over all k, is an infinite set of base-orderable excluded minors for strong base-orderability.

研究の動機と目的

• 基底順序可能性の除外最小因子を特定するイングルトンの予想を、そのような因子の無限族を構築することで解決すること。
• 基底順序可能性と強基底順序可能性の間にある階層としてのk-基底順序可能マトロイドを定義・分析すること。
• パビングマトロイドがM(K₄)-最小因子を持たない場合に限り基底順序可能であることを証明すること。
• 構築されたマトロイドMβが、基底順序可能性およびギャモイドのクラスの両方の除外最小因子であることを示すこと。
• イングルトンの定義に基づき、k-基底順序可能マトロイドのクラスが完全クラスであることを確立すること。

提案手法

• イングルトンの例を一般化し、特定の巡回フラットとサイクルハイパープランを備えたマトロイドMβの族を構成すること。
• k-基底順序可能性を、サイズが最大kの部分集合に対して交換が成り立つ基底交換性質として定義すること。
• 双対と単一要素の収縮を用いて、MβおよびMβ*がk-基底順序可能性および強基底順序可能性の両方の除外最小因子であることを示すこと。
• メイソン-イングルトン条件を用いて、Mβの単一要素の収縮がトランスバーサル的であり、したがってギャモイドであることを証明すること。
• 基底と巡回フラットの構造を分析し、Mβが(k−1)-基底順序可能ではあるがk-基底順序可能でないことを確認すること。
• すべてのk ≥ 2について、これらの除外最小因子の和集合が強基底順序可能性のための無限集合の除外最小因子を形成することを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 イングルトンが1975年の論文で特定したマトロイドのうち、無限個が基底順序可能性および強基底順序可能性の両方の除外最小因子であるか？
• RQ2 各段階が直前の段階よりも厳密に強い階層としてのk-基底順序可能マトロイドを定義できるか？ また、そのような階層が完全クラスを形成するか？
• RQ3 パビングマトロイドのクラスが、M(K₄)最小因子を含まない場合に限り基底順序可能であるか？
• RQ4 構築されたマトロイドMβは、k-基底順序可能性の除外最小因子であるが、(k−1)-基底順序可能であるか？
• RQ5 Mβの単一要素の削除は、ギャモイドであるか、それとも別の特徴付けを必要とするか？

主な発見

• 強基底順序可能性のための無限族の除外最小因子が構築され、それぞれのマトロイドは基底順序可能ではあるが強基底順序可能でない。
• 各k ≥ 2について、マトロイドMβはk-基底順序可能性の除外最小因子ではあるが(k−1)-基底順序可能であるため、厳密な階層が確立される。
• イングルトンの定義に基づき、k-基底順序可能マトロイドのクラスが完全クラスであることが証明され、マイナー、双対、直和、切り詰め、および有向グラフによる帰納的生成に関して閉じている。
• パビングマトロイドがM(K₄)-最小因子を持たない場合に限り基底順序可能であることが示され、このクラスに対する完全な特徴付けが得られる。
• 双対マトロイドMβ*もk-基底順序可能性および強基底順序可能性の両方の除外最小因子であり、(k−1)-基底順序可能である。
• 与えられたkに対して非同型なマトロイドMβの数は、k = 2h+1のときh²、k = 2hのとき(h−1)² + hであり、kの偶奇に応じた正確な数え上げが得られる。