[論文レビュー] An Infinite Family of Quadratic Quadrinomial APN Functions

Carl Bracken, Eimear Byrne+2 more|ArXiv.org|Jul 9, 2007

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$ℚ_{2^{3k}}$ 上で $∼(k,3) = 1$ を満たす無限個の2次4項式関数の族を構築し、関連する微分写像の核の解析を用いて、それがAPN（ほぼ完全非線形）であることを証明する。主な貢献は、既知の単項式関数とはCCZ同値でない新しいAPN関数のクラスを提供することであり、$n=6$ の場合の明示的構成は、ディロンのリストに含まれる3項式と一致する。

ABSTRACT

We present an infinite family of quadratic APN functions on a finite field of dimension over GF(2) divisible by 3.

研究の動機と目的

• $\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 上に、$∼(k,3) = 1$ を満たす新しい無限族のAPN関数を構築し、既知の単項式族を超える拡張を達成すること。
• 関連する微分写像 $F(x+q)+F(x)+F(q)$ の核のサイズを解析することで、これらの関数がAPNであることを証明すること。
• $n=6$ の場合のCCZ同値関係を確立し、既知のべき関数とは同値でないが、ディロンのリストの3項式と同値であることを示すこと。
• これらの関数が任意の単項式関数とはEA同値でないことを示し、すべてのAPN関数が単項式関数とEA同値であるという従来の予想に反することを示すこと。
• $\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 内の原始元と係数 $u,v,w$ に対する制約を用いて、関数の明示的パラメータ化を提供すること。

提案手法

• $s,k$ および係数に関する制約を満たす $\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 上で関数 $F(x) = u^{2^k}x^{2^{-k}+2^{k+s}} + ux^{2^s+1} + vx^{2^{-k}+1} + wu^{2^k+1}x^{2^{k+s}+2^s}$ を定義する。
• 関連する線形多項式の核のサイズ解析を用いて、方程式 $F(x)+F(x+q)+F(q) = 0$ が2つ以下の解しか持たないことを示し、APN性を証明する。
• 解の解析に線形多項式 $L_\theta(T) = T + \theta T^{2^k} + \theta^{2^k+1}T^{2^{-k}}$ を用い、解が $\mathbb{F}_{2^k}$ 内にあることを示す。
• $a = u^{2^k-1}q^{2^{-k}+2^{k+s}-2^s-1}$ を用いた代入と簡略化を施し、システムを解ける形に還元する。
• $u$ の原始性と $u^{2^k-1}$ が7乗剰余でないという性質を用いて、非自明な解が存在しないことを示し、核のサイズが2以下であることを証明する。
• $n=6$ の場合、関数のグラフとパリティーチェック行列の間の符号同値性を用いて、ディロンのリストの3項式とCCZ同値であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 上で $∼(k,3) = 1$ を満たす、新しい無限個の2次4項式APN関数の族を構築できるか？
• RQ2 これらの関数は、ゴールドやカサミ＝ウェルチなどの既知の単項式APN関数とCCZ同値か？
• RQ3 $s,k,u,v,w$ のパrameterにどのような条件を課すと、関数 $F(x)$ がAPNになるか？
• RQ4 $F(x)$ の微分的性質は、方程式 $F(x)+F(x+q)=p$ が2つ以下の解しか持たないことをどのように保証するか？
• RQ5 $n=6$ の場合、構築された関数はディロンのコンピュータ探索で得られた3項式のいずれかと同値か？

主な発見

• $\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 上で $∼(k,3)=1$ かつ $s,k,u,v,w$ に関する適切な制約を満たす関数 $F(x)$ は、APNであることが証明された。
• $q \neq 0$ に対して、微分写像 $F(x+q)+F(x)+F(q)$ の核のサイズは2以下であり、これによりAPN性が確認された。
• $n=6$ の場合、構築された関数は、例えば $x^3 + x^{10} + u x^{24}$ のようなディロンのリストの3項式とCCZ同値であるが、いかなる単項式関数とも同値でない。
• これらの関数は、ゴールド、カサミ＝ウェルチ、および他の既知の単項式APN関数とはCCZ同値でないことが示され、新しい族であることが確認された。
• 証明は、微分方程式のすべての解が $\mathbb{F}_{2^k}$ 内にあること、および $u$ の原始性と $u^{2^k-1}$ が7乗剰余でないという性質を用いて、余分な解が存在しないことを示すことに依存している。
• 特定の係数の選び方をすると関数が $x^3$ に簡約される場合もあるが、一般にはCCZ同値でない新しいAPN関数を生成する。