[論文レビュー] An infinite family of superintegrable systems with the fifth Painleve transcendent from higher order ladder operators and supersymmetry

Ian Marquette|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2010

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 1被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、2次超対称量子力学を用いて導かれる4次ラダー演算子を持つ、新たな無限族の量子超可積分系を提案する。これにより、第5種パンルベ超越関数に従う系が得られ、主な貢献は、多項式ヘイゼンベルク代数の構成と、デカルト座標系における明示的な変数分離の実現であり、2次系を越える可積分性を示している。

ABSTRACT

We will discuss how we can obtain new quantum superintegrable Hamiltonians allowing the separation of variables in Cartesian coordinates with higher order integrals of motion from ladder operators. We will discuss also how higher order supersymmetric quantum mechanics can be used to obtain systems with higher order ladder operators and their polynomial Heisenberg algebra. We will present a new family of superintegrable systems involving the fifth Painleve transcendent which possess fourth order ladder operators constructed from second order supersymmetric quantum mechanics. We present the polynomial algebra of this family of superintegrable systems.

研究の動機と目的

• ラダー演算子を用いて、高次積分運動量を有する新たな量子超可積分ハミルトニアンを構成すること。
• 高次ラダー演算子を生成するため、高次超対称量子力学を拡張すること。
• デカルト座標系で変数分離可能な系における第5種パンルベ超越関数の役割を調査すること。
• 新規の超可積分系の家族に対して、多項式ヘイゼンベルク代数構造を確立すること。
• このような系の無限族が、明示的な代数的およびスペクトル的性質を有することを示すこと。

提案手法

• 種のポテンシャルから出発し、2次超対称量子力学を用いて高次ラダー演算子を生成する。
• これらのラダー演算子を用いて、デカルト座標系で変数分離が可能なハミルトニアンを構築する。
• ラダー演算子に関連する多項式代数を導出し、交換関係の下での閉包性を示す。
• 得られた超可積分系のポテンシャル構造に、第5種パンルベ超越関数を主要な構成要素として用いる。
• 積分運動量の代数的構造を分析し、超可積分性および高次対称性を確認する。
• 超対称性フレームワークから体系的に構成することで、このような系の無限族の存在を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次超対称量子力学から体系的に高次ラダー演算子を生成し、新たな超可積分系を得ることができるか？
• RQ2 これらの系のポテンシャル構造に、第5種パンルベ超越関数はどのように現れるか？
• RQ3 この文脈における4次ラダー演算子から生じる代数的構造、特に多項式ヘイゼンベルク代数は何か？
• RQ4 高次積分運動量を有するにもかかわらず、結果のハミルトニアンはデカルト座標系で変数分離可能か？
• RQ5 無限族パラメータは、互いに構造的に類似したが異なる超可積分系を生成するにあたり、果たす役割は何か？

主な発見

• 2次超対称量子力学から導かれる4次ラダー演算子を持つ、超可積分系の無限族が構成された。
• 系はデカルト座標系で変数分離可能であり、2次系を越える可積分性が裏付けられた。
• 第5種パンルベ超越関数が、ハミルトニアンのポテンシャル関数に明示的に現れ、数学的物理における特殊関数と関連づけられた。
• 系の多項式代数が交換関係の下で閉じており、ヘイゼンベルク代数を一般化する非線形代数的構造を形成することが示された。
• ラダー演算子は、離散的かつ非 degenerate なエネルギー準位を有する一貫した代数的枠組みを提供した。
• 本構成法により、高次対称性と特殊関数ポテンシャルを有する新たな超可積分モデルを体系的に生成する手法が得られた。