[論文レビュー] An Infinite Product for e^gamma via Hypergeometric Formulas for Euler's Constant, gamma

Jonathan Sondow|ArXiv.org|May 31, 2003

Advanced Mathematical Identities参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、超幾何関数の恒等式および積分変換を用いて導出された、Eulerの定数 $ \gamma $ の無限積表現を提示する。$ \gamma $ の二重積分公式を活用することで、超幾何級数との関係を確立し、式を簡略化する変換を施した後、増加するべき乗に累乗されたネストされた有理数項を含む無限積の公式を導出する。これにより、$ e^\gamma $ の新たな解析的表現が得られる。

ABSTRACT

We derive hypergeometric formulas for Euler's constant, gamma. A "by-product" of Thomae's transformation is an infinite product for e^gamma involving the binomial coefficients. Alternate, non-hypergeometric proofs use a double integral for gamma, the beta integral, and an integral for the digamma function. (I thank P. Sebah, S. Zlobin, and W. Zudilin for valuable suggestions used in the paper.)

研究の動機と目的

• Eulerの定数の指数関数 $ e^\gamma $ に対する新しい無限積公式を導出すること。
• 超幾何関数と $ \gamma $ の積分表現との間の関係を確立すること。
• 導出された積の公式の堅牢性を示すために、超幾何関数、digamma関数に基づく、および積分に基づく複数の証明を提供すること。
• 古典的積分表現を用いて、$ \gamma $ の二重積分公式を簡潔かつ自己完結的に証明すること。
• 部分和法の技術を用いて、$ \gamma $ の超幾何級数近似の収束を加速すること。

提案手法

• 定義の $ \gamma $ を極限として表す式を、$ \ln n $ を $ \ln(n+1) $ に置き換えることで級数に変換し、項別積分を可能にする。
• 得られた級数を、既知の級数展開および積分表現を用いて超幾何関数 $ F(1,1,2,2; t) $ として表現する。
• 特にThomaeの変換の一種を用いた超幾何関数の変換を適用し、より簡潔な積分形式に式を簡略化する。
• digamma関数 $ \psi(t) $ 及びその級数表現を用いて、同一の積の公式に対するより短い証明路線を導出する。
• 変数変換および一様収束の議論を用いて、主要な積分式を古典的積分 $ \gamma = \int_0^1 \frac{1 - u}{\ln u} \, du $ に還元する。
• 変数変換 $ v = 1 - xu $, $ x = xy $ を適用することで、二重積分公式 (3) と導出された積の間の同等性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超幾何関数および積分変換を用いて、$ e^\gamma $ の無限積表現を導出可能か？
• RQ2 二重積分公式 $ \gamma $ を用いることで、新たな積の恒等式を生成可能か？
• RQ3 digamma関数は、$ \gamma $ に関連する超幾何級数の簡略化にどのような役割を果たすか？
• RQ4 古典的積分 $ \gamma = \int_0^1 \frac{1 - u}{\ln u} \, du $ と導出された無限積との間には直接的な解析的関係があるか？
• RQ5 部分和法または項の再順序付けを用いて、$ \gamma $ の超幾何級数近似の収束を加速可能か？

主な発見

• 本稿では、無限積の公式 $ e^\gamma = \prod_{n=1}^\infty \left( \frac{n+1}{n} \right)^{\frac{1}{n+1}} \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right)^{\frac{1}{n}} $ を確立し、$ n $ 番目の因子が $ \left( \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \right)^{\frac{1}{n(n+1)}} $ であることを示した。この結果、$ e^\gamma \approx 1.7810724179 $ が得られる。
• 超幾何関数の変換により、$ \gamma $ の複雑な級数表現が、より単純な積分形式 $ \gamma = \int_1^\infty \frac{1}{t^2} \cdot F\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}; \frac{1}{t} \right) \, dt $ に簡略化されることが示された。これによりさらなる簡略化が可能になった。
• 主要な積分 $ \gamma = \int_1^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} \cdot \frac{1}{t^n(t+1)^n} \, dt $ が、変数変換および項別積分を用いて、古典的積分 $ \gamma = \int_0^1 \frac{1 - u}{\ln u} \, du $ に等価であることが示された。
• 二重積分公式 (3) と導出された積の間の同等性は、変数変換 $ v = 1 - xu $, $ x = xy $ を用いて証明され、二重積分が積の積分表現に写像されることを示した。
• digamma関数 $ \psi(t) $ 及びその級数展開の使用により、同一の積の公式へのより短い証明路線が得られ、複数の手法による一貫性が確認された。
• 導出に用いられた超幾何級数の収束は、被積分関数の一様な有界性により保証されており、項別積分の正当性が保証されている。