[論文レビュー] An informal introduction to perturbations of matrices determined up to similarity or congruence

Lena Klimenko, Vladimir V. Sergeichuk|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2013

Matrix Theory and Algorithms参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、類似、合同、および*合同変換の下での複素行列に対する摂動理論について、形式的ではあるがきめ細やかに厳密なサーベイを提供する。最小普遍変形（miniversal deformations）—摂動に連続的に依存し、与えられた同値関係のもとで近傍のすべての行列を捉える正規形—を導入し、ジャンルの正規形のような不連続な正規形の代わりに安定な代替手段を提示する。

ABSTRACT

The reductions of a square complex matrix A to its canonical forms under transformations of similarity, congruence, or *congruence are unstable operations: these canonical forms and reduction transformations depend discontinuously on the entries of A. We survey results about their behavior under perturbations of A and about normal forms of all matrices A+E in a neighborhood of A with respect to similarity, congruence, or *congruence. These normal forms are called miniversal deformations of A; they are not uniquely determined by A+E, but they are simple and depend continuously on the entries of E.

研究の動機と目的

• 小さな行列の摂動に対して不連続に依存する正規形（例：ジャンル形式）の不安定性を解消すること。
• 類似、合同、および*合同の下で、正規形の代わりに連続的かつ安定的な代替手段として最小普遍変形を導入すること。
• ハッセ図（閉包グラフ）を用いて、行列の類似、合同、および*合同類の間の閉包関係を特徴づけること。
• ブロック行列に独立パラメータを含む構成的技法を用いて、最小普遍変形の計算および構造の解析を行うこと。
• アルノルドの最小普遍変形理論を類似から合同および*合同に拡張し、正規形の明示的分類と閉包関係を含むこと。

提案手法

• 類似の下でジャンル行列に対する最小普遍変形を構成し、ブロック対角構造の非対角ブロックに最小限の独立パラメータ（アsterisks）を追加する。
• 摂動 $X$ に滑らかに依存する解析的変換 $\mathcal{S}(X)$ を用い、$J+X$ を最小普遍形 $J+\mathcal{D}$ に還元し、連続性を保証する。
• 最小普遍変形における独立パラメータの最小数を決定するために、余次元（codimension）の概念を用いる。
• 合同および*合同の下に拡張する際、$\begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ および $\begin{bmatrix} 0 & \tau \\ \tau & i\tau \end{bmatrix}$ の形のブロックを用いて正規行列を分類し、実非負パラメータを用いる。
• 類似および*合同類の包含関係を示す閉包グラフ（ハッセ図）を構築し、有向パスが閉包関係を示す。
• 幾何的・代数的基準（例：内積の非負虚部）を用いて、閉包グラフ内の正規形の間に矢印が存在するかを判定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた行列に近い行列の正規形を、摂動に連続的に依存する形で構成するにはどうすればよいか。ジャンル形式のような不連続性を回避できるか。
• RQ2 類似、合同、または*合同の下で、与えられた行列に近いすべての行列を表現するために必要な独立パラメータの最小数は何か。
• RQ3 類似、合同、または*合同の下で、与えられた行列の摂動によって任意に近づけることができる行列類はどれか。
• RQ4 行列同値類間の閉包関係を体系的かつ特徴づけて表現するにはどうすればよいか。
• RQ5 *合同の下で、ある正規行列が別の正規行列の閉包に属するための構造的およびパラメトリックな条件は何か。

主な発見

• 類似の下での最小普遍変形は、$J+\mathcal{D}$ の形に構成され、非対角ブロックのアスタリスクが独立複素パラメータに置き換えられ、そのパラメータ数は類似類の余次元に等しい。
• ジャンル行列 $J$ に対して、すべての十分に小さな摂動 $J+X$ は、解析的類似変換を用いて最小普遍形 $J+\mathcal{D}$ に還元可能であり、$X$ に連続的に依存することが保証される。
• $n\times n$ 行列の類似類の閉包グラフはハッセ図であり、$J'$ が $J$ の類似類の閉包に含まれるとき $J' \preccurlyeq J$ と表される。例として、$J_2(\lambda)\oplus J_2(\lambda) \to J_3(\lambda)\oplus J_1(\lambda)$ または $J_4(\lambda)$ のような摂動による遷移が示される。
• *合同の下では、正規形は $\begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ および $\begin{bmatrix} 0 & \tau \\ \tau & i\tau \end{bmatrix}$ の直和として表され、閉包関係は実非負係数の組み合わせと虚部条件によって決定される。
• *合同類の閉包は、閉包グラフにおいて $M$ へ向かう有向パスを持つすべての*合同類 $N$ の和集合である。
• *合同類の $2\times 2$ 閉包グラフは無限大であり、零以外のすべての頂点は複素数または実数パラメータでパラメータ化された非可算族の行列を表す。矢印の存在はパラメータに関する代数的条件（例：$\operatorname{Im}(\lambda \bar{\tau}) \geq 0$）に依存する。