[論文レビュー] An Information-Theoretic Approach to Quantum Theory, I: The Abstract Quantum Formalism

Philip Goyal|ArXiv.org|Feb 13, 2007

Quantum Mechanics and Applications参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限次元系における抽象的量子形式主義の導出を、情報理論的不変性原理を用いて行い、量子力学の構造——正準交換関係やディラックのポアソン括弧則——が、測定プロセスにおける情報取得に関する仮定から自然に生じることを示している。主な結果は、状態空間全体にわたる均一な情報取得が、標準偏差 $1/(2\sqrt{n})$ の対称的ガウス事後分布をもたらし、ヒルベルト空間構造と量子理論の非古典的性質を強制することにある。

ABSTRACT

In this paper and a companion paper, we attempt to systematically investigate the possibility that the concept of information may enable a derivation of the quantum formalism from a set of physically comprehensible postulates. To do so, we formulate an abstract experimental set-up and a set of assumptions based on generalizations of experimental facts that can be reasonably taken to be representative of quantum phenomena, and on theoretical ideas and principles, and show that it is possible to deduce the quantum formalism. In particular, we show that it is possible to derive the abstract quantum formalism for finite-dimensional quantum systems and the formal relations, such as the canonical commutation relationships and Dirac's Poisson Bracket rule, that are needed to apply the abstract formalism to particular systems of interest. The concept of information, via an information-theoretic invariance principle, plays a key role in the derivation, and gives rise to some of the central structural features of the quantum formalism.

研究の動機と目的

• 有限次元系における抽象的量子形式主義を、物理的に理解可能な公理から導出すること。
• 情報が量子理論の基礎的原理として果たす役割を特定し、従来の公理を置き換えたり補完したりすること。
• 量子力学の構造——交換関係を含む——が情報理論的不変性から生じることを示すこと。
• 量子理論における複素数の選択が、情報理論的原則から導けるかを明らかにすること。

提案手法

• 状態準備と測定を含む抽象的な実験設定を定式化し、結果を確率で記述する。
• 測定頻度から未知の状態パラメータを推定するためにベイズ推論を適用する。
• シャノンの情報量測度を用いて、$n$ 回の測定から得られる状態に関する情報量を定量化する。
• 真の状態に依存しない情報取得を要求する不変性条件を課し、状態空間に一様な事前分布を導入する。
• 状態パラメータの事後分布を、測定基底に依存しない標準偏差 $1/(2\sqrt{n})$ の多次元ガウス分布として導出する。
• 均一な情報取得の要請が、状態空間を単位超球に強制し、ヒルベルト空間形式主義を導くことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 抽象的量子形式主義は、公理ではなく情報理論的原則から導けるか？
• RQ2 真の状態の変更に対して情報取得が不変であると要求すると、どのような物理的制約が生じるか？
• RQ3 ヒルベルト空間や交換関係といった量子力学の構造は、情報制約からどのように生じるか？
• RQ4 量子理論における複素数の選択は、情報理論的原則から導けるか？
• RQ5 状態空間に一様な事前分布が与えられることで、量子構造がどのように強制されるか？

主な発見

• 情報取得が最大になるのは、状態空間における事前分布が一様であるときであり、その場合、標準偏差 $1/(2\sqrt{n})$ の対称的ガウス事後分布が得られる。
• 情報取得が真の状態に依存しないという要請が、単位超球の正の第1象限における一様な事前分布を強制し、これにより対称的かつ等方的構造が生じる。
• 直交座標系を用いる場合、状態パラメータの事後分布は、それぞれ分散 $1/(4n)$ の独立なガウス分布の積となる。
• 再パrametrizationに対して情報取得が不変であるという性質から、状態空間が単位超球でなければならないことが導かれる。これによりヒルベルト空間構造が強制される。
• 導出過程から正準交換関係とディラックのポアソン括弧則が、情報理論的不変性原理の結果として得られる。
• 事前にヒルベルト空間構造を仮定せず、複素振幅が必要な不変性および情報制約を満たす唯一の選択肢であることを示すことにより、形式主義が自然に複素ヒルベルト空間構造へと導かれる。