[論文レビュー] An Input-Output Approach to Structured Stochastic Uncertainty in Continuous Time

Maurice Filo, Bassam Bamieh|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2018

Stability and Control of Uncertain Systems被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、状態空間実現を避けて、構造的乗法的確率的不確実性を有する連続時間線形時不変（LTI）システムにおける平均二乗安定性（MSS）を、完全に入出力アプローチで分析する手法を開発する。確率的ブロック図を導入し、行列作用素の固有値半径を用いてMSSの条件を導出し、伊藤とストラトノビッチ解釈の両方に有効である。これにより、無限次元および時間遅れ系の解析が可能となる。

ABSTRACT

We consider the continuous-time setting of linear time-invariant (LTI) systems in feedback with multiplicative stochastic uncertainties. The objective of the paper is to characterize the conditions of Mean-Square Stability (MSS) using a purely input-output approach, i.e. without having to resort to state space realizations. This has the advantage of encompassing a wider class of models (such as infinite dimensional systems and systems with delays). The input-output approach leads to uncovering new tools such as stochastic block diagrams that have an intimate connection with the more general Stochastic Integral Equations (SIE), rather than Stochastic Differential Equations (SDE). Various stochastic interpretations are considered, such as Itō and Stratonovich, and block diagram conversion schemes between different interpretations are devised. The MSS conditions are given in terms of the spectral radius of a matrix operator that takes different forms when different stochastic interpretations are considered.

研究の動機と目的

• 状態空間実現に依存せずに、構造的乗法的確率的不確実性を有する連続時間LTIシステムの平均二乗安定性（MSS）条件を確立すること。
• 白 noise がダイナミクスに乗法的に作用する連続時間設定において、白色ノイズ過程が適切に定義されない問題を数学的に厳密に扱うこと。
• 状態空間表現を避けることで、無限次元系や時間遅れ系を含むより広いクラスのシステムをカバーするフレームワークを構築すること。
• ブロック図変換スキームと確率的積分方程式を用いて、伊藤とストラトノビッチ解釈を統一すること。
• 提案された入出力フレームワークにおいて、状態空間ベースのMSS解析が特別な場合として自然に回復できることを示すこと。

提案手法

• 白色ノイズの代わりにウィーナ過程微分（dw, dγ）を用いた確率的微分方程式としてシステムを定式化し、数学的厳密性を保証する。
• 異なる確率的解釈下での乗法的および加法的摂動を捉える確率的ブロック図を用いてフィードバックシステムを表現する。
• システムのインパulse応答と不確実性共分散構造から導かれる行列作用素 ℒ_T を定義し、その固有値半径が安定性を決定することを示す。
• 時刻 t_k = kT での時間サンプリングを用い、作用素 ℒ_T の単調性を活用して出力共分散行列 U(t_k) の再帰的バウンディングを導出する。
• 正定値行列および作用素ノルムの性質を活用し、帰納法と固有値半径解析を用いて共分散成長の下界を確立する。
• 確率的積分方程式変換を用いて、伊藤とストラトノビッチ解釈間の変換スキームを構築し、一貫性のあるブロック図表現を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造的乗法的確率的不確実性を有する連続時間LTIシステムにおける平均二乗安定性は、状態空間実現を用いずにどのように特徴づけられるか？
• RQ2 連続時間において乗法的白色ノイズを表現する数学的基盤は何か？ そして、ウィーナ過程を用いてどのように厳密化できるか？
• RQ3 異なる確率的解釈（伊藤対ストラトノビッチ）は安定性解析にどのように影響を及ぼし、それらの間を切り替えるために必要なブロック図変換は何か？
• RQ4 行列作用素 ℒ の固有値半径が平均二乗安定性を決定する役割は何か？ また、確率的解釈に依存してどのように変化するか？
• RQ5 状態空間ベースの安定性解析は、この入出力フレームワーク内での特別な場合として回復可能か？

主な発見

• 平均二乗安定性は、行列作用素 ℒ の固有値半径 ρ(ℒ) が1未満である場合にかつその場合にのみ保証される。作用素 ℒ はシステムのインパulse応答と不確実性構造から定義される。
• インパulse応答 M が無限大の H²-ノルムを持つ場合、不確実性構造にかかわらず出力共分散 U(t) は無限に増大し、不安定性が生じる。
• 有限の H²-ノルムを持つシステムでは、ρ(ℒ) ≥ 1 ならば出力共分散 U(t) は時間とともに無限に増大する。ρ(ℒ) > 1 の場合は幾何的成長を示し、ρ(ℒ) = 1 の場合は任意に大きな成長を示す。
• サンプリング時刻 t_k = kT における U(t_k) のバウンディングは、U(t_k) ≥ ∑_{r=0}^k ℒ_T^r(Û) を満たす。ここで Û は最悪ケースの初期共分散であり、作用素による累積的成長を示す。
• ρ(ℒ) > 1 の場合、十分に小さな ε を選ぶことで有効成長係数 α > 1 が得られ、幾何的成長率が確立される。これにより指数的発散が生じる。
• ρ(ℒ) = 1 の場合、バウンディングは U(t_k) ≥ (1/ε)Û となり、任意に小さな ε に対して成り立つ。これにより、共分散が幾何的でないにせよ、無限に増大しうることを示す。