[論文レビュー] An insertion algorithm associated with q-Whittaker functions

Neil O’Connell, Yuchen Pei|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、パrameter qに依存する確率的重みを組み込んだq重み付きロビンソン＝シュナイダース列挿入アルゴリズムを導入し、古典的バージョンを一般化する。このアルゴリズムはq-ホイットラー関数と関連し、ランダムな語や置換に適用することで、その重みがq-ホイットラー関数に従うテーブルックスのペアの分布を生じさせる。これにより、q-TASEP粒子系を分析するための新しい代数的枠組みが提供される。

ABSTRACT

We introduce a q-weighted version of the Robinson-Schensted (column insertion) algorithm which is closely connected to q-Whittaker functions (or Macdonald polynomials with t=0) and reduces to the usual Robinson-Schensted algorithm when q=0. The q-insertion algorithm is `randomised', or `quantum', in the sense that when inserting a positive integer into a tableau, the output is a distribution of weights on a particular set of tableaux which includes the output which would have been obtained via the usual column insertion algorithm. There is also a notion of recording tableau in this setting. We show that the distribution of weights of the pair of tableaux obtained when one applies the q-insertion algorithm to a random word or permutation takes a particularly simple form and is closely related to q-Whittaker functions. In the case $0\le q<1$, the q-insertion algorithm applied to a random word also provides a new framework for solving the q-TASEP interacting particle system introduced (in the language of q-bosons) by Sasamoto and Wadati (1998) and yields formulas which are equivalent to some of those recently obtained by Borodin and Corwin (2011) via a stochastic evolution on discrete Gelfand-Tsetlin patterns (or semistandard tableaux) which is coupled to the q-TASEP process. We show that the sequence of P-tableaux obtained when one applies the q-insertion algorithm to a random word defines another, quite different, evolution on semistandard tableaux which is also coupled to the q-TASEP process.

研究の動機と目的

• 古典的ロビンソン＝シュナイダース挿入アルゴリズムを、量子的または確率的挙動を組み込んだ確率的・q重み付きバージョンに一般化すること。
• 得られたテーブルックス分布とq-ホイットラー関数（t=0におけるマクドナルド多項式）との関係を確立すること。
• q-TASEP相互作用粒子系を研究するための新しい代数的・組合せ的枠組みを提供すること。
• q挿入によって生成されるPテーブルックスの系列が、q-TASEPに結合された特異な確率的過程に従って進化することを示すこと。
• ボロディンとコルウィンによるq-TASEPに関する最近の結果を、テーブルックスに基づくアプローチで再解釈し、ゲルファンド＝ツェトリンパターンの進化とは別の代替手段を提供すること。

提案手法

• 数の挿入が出力テーブルックスの確率的分布を生じるq挿入アルゴリズムを提案し、古典的列挿入を一般化する。
• 挿入プロセスにq重みを用い、重みの分布がパrameter qに依存する。q=0で古典的アルゴリズムに還元される。
• q重み付き設定における挿入ステップの進化を追跡するための記録テーブルックス機構を導入する。
• ランダムな語に対するq挿入によって得られる(P,Q)-テーブルックスペアの重みの同時分布が、q-ホイットラー関数に従うことを導出する。
• Pテーブルックスの系列が半標準テーブルックス上の確率的ダイナミクスに従って進化することを示し、q-insertionプロセスとq-TASEP粒子系の間の関係を確立する。
• ゲルファンド＝ツェトリンパターンを介して、q-insertionフレームワークとボロディンとコルウィンによるq-TASEPの先行結果との等価性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ロビンソン＝シュナイダース挿入アルゴリズムを、組合せ的構造を保ちつつ確率的・q重み付きバージョンにどのように一般化できるか？
• RQ2 q挿入によって生成されるテーブルックスペアの分布とq-ホイットラー関数との関係は何か？
• RQ3 q挿入アルゴリズムは、q-TASEP粒子系のダイナミクスの新しい導出や解釈を可能にするか？
• RQ4 q挿入におけるPテーブルックスの系列はどのように進化するのか？その進化を支配する確率的過程は何か？
• RQ5 q挿入フレームワークは、ボロディンとコルウィンによるq-TASEPの既存の結果をどのように回復または再解釈するか？

主な発見

• q挿入アルゴリズムは、ランダムな語に適用した場合、(P,Q)-テーブルックスペアの重みが正確にq-ホイットラー関数で与えられる分布を生じる。
• q=0で、q挿入アルゴリズムは古典的ロビンソン＝シュナイダース列挿入アルゴリズムに還元される。
• 0 ≤ q < 1の範囲で、q挿入プロセスはq-TASEP系を分析するための新しい組合せ的枠組みを提供し、ボロディンとコルウィンの結果と同等の式を得る。
• q挿入によって生成されるPテーブルックスの系列は、半標準テーブルックス上の特異な確率的ダイナミクスに従って進化し、これはq-TASEPプロセスと結合されている。
• q挿入フレームワークは、テーブルックスの組合せ論を通じて、q-ホイットラー関数とq-TASEPモデルの統計力学の間の直接的な関係を確立する。
• この手法は、q-TASEPを研究するためのゲルファンド＝ツェトリンパターンの進化とは別の代替手段を提供し、利用可能な代数的・確率的ツールを豊かにする。