[論文レビュー] An integrabilist approach of out-of-equilibrium statistical physics models

Matthieu Vanicat|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2017

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 3

ひとこと要約

本学位論文は、開放境界を有する粒子の生成・消滅を伴う排他過程を対象として、非平衡統計力学モデルに対する統合的（integrabilist）アプローチを開発する。行列積アンザッツ（matrix product ansatz）と正確解を用いて、巨視的フラクチュエーション理論（macroscopic fluctuation theory, MFT）の予測を導出し、有限サイズ系の正確解と照合することで、バルクにおける粒子生成・消滅過程に対する初めてのMFT予測の検証を達成した。また、MFTを多成分系に拡張した。

ABSTRACT

In the first part of the thesis we construct models, called integrable, in which we can perform exact computations of physical quantities. We introduce several new out-of-equilibrium models that are obtained by solving, in specific cases, the Yang-Baxter equation and the reflection equation. We provide new algebraic structures which allow us to construct the solutions through a Baxterisation procedure. In the second part of the thesis we compute exactly the stationary state of these models using a matrix ansatz. We shed light on the connection between this technique and the integrability of the model by pointing out two key relations: the Zamolodchikov-Faddeev relation and the Ghoshal-Zamolodchikov relation. The integrability is also exploited, through the quantum Knizhnik-Zamolodchikov equations, to compute the fluctuations of the particles current, unrevealing connections with the theory of symmetric polynomials (the Koornwinder polynomials in particular). Finally the last part of the thesis deals with the hydrodynamic limit of the models, i.e when the lattice spacing tends to zero and the number of particles tends to infinity. The exact results obtained for a finite size system allow us to check the validity of the predictions of the macroscopic fluctuations theory (concerning the fluctuations of the current and the density profile in the stationary state) and to extend the theory to systems with several species of particles.

研究の動機と目的

• バルクにおける粒子生成・消滅を伴う非平衡統計力学モデルを研究するための可解的フレームワークの構築。
• 巨視的フラクチュエーション理論（MFT）を、開放境界を持つ多成分排他過程に拡張すること。
• 行列積アンザッツを用いて、有限サイズ系における電流および密度分布の正確解を確立すること。
• ペア生成・消滅を伴うモデルについて、熱力学的極限におけるMFT予測を正確解と照合すること。
• 代数的および行列積技術を用いて、多成分非対称単純排他過程（ASEP）の可解的境界条件を多成分系に拡張すること。

提案手法

• 開放排他過程の正確な定常状態解を構成するために、行列積アンザッツ（MPA）を用いる。
• 多成分SSEPにおける密度分布の大きな偏差関数を計算するために、加法性原理を適用する。
• 有限サイズ系の観測量（電流、密度）の熱力学的極限を用いて、微視的正確解と巨視的MFT予測を結びつける。
• MFTから得られる非線形オイラー＝ラグランジュ方程式系の最小化により、巨視的作用関数を導出する。
• ペア生成・凝縮を伴うモデルについて、正確解とMFT予測を照合する。
• 代数的および行列積技術を用いて、開放境界を持つ多成分ASEPに可解的境界条件を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粒子生成・消滅を伴う有限サイズの排他過程において、電流および密度分布の正確解をどのように導出できるか。
• RQ2 バルクにおける粒子反応を伴う系について、熱力学的極限における正確解が巨視的フラクチュエーション理論（MFT）の予測とどの程度一致するか。
• RQ3 多成分SSEPにおける密度分布の大きな偏差関数を計算するために、加法性原理をどのように適用できるか。
• RQ4 可解的境界条件は多成分排他過程において果たす役割は何か。また、巨視的挙動にどのように影響を与えるか。
• RQ5 巨視的フラクチュエーション理論は、粒子生成・消滅を伴う多成分拡散系を記述するために拡張可能か。

主な発見

• 多成分SSEPの密度分布の正確な大きな偏差関数が、加法性原理と行列積アンザッツを用いて計算された。
• バルクにおける粒子生成・消滅を伴う系について、MFT予測の正確な検証が初めて達成された。熱力学的極限において、正確な有限サイズ結果と一致した。
• ペア生成・凝縮を伴うモデルについて、電流および密度分布の正確解が導出され、熱力学的極限においてMFTと整合性を示した。
• 多成分ASEPの可解的境界条件が一般化され、定常状態観測量の正確な計算が可能になった。
• MFT作用関数が、行列積構造を通じて多成分系における排他制約を正しく記述することが示された。
• 本フレームワークにより、微視的可解性と巨視的非平衡挙動を結びつけることに成功し、あるクラスの非平衡系を統一的に記述するものとなった。