[論文レビュー] An integrable noncommutative version of the sine--Gordon system

Marcus T. Grisaru, Silvia Penati|ArXiv.org|Dec 28, 2001

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、二重複素数（bicomplex）アプローチを用いて、2次元ユークリッド空間における可換でない非可換sine-Gordon方程式の可積分なバージョンを構築する。非可換性の結果として生じる非自明な制約を課す2つの連立方程式の系を導入し、可換極限では標準的なsine-Gordon方程式に還元される一方、非可換性に起因する制約を課す。無限個の保存電流の塔と、非可換パラメータθの2次までの摂動的ソリトン解を用いて、古典的可積分性を証明する。

ABSTRACT

Using the bicomplex approach we discuss a noncommutative system in two--dimensional Euclidean space. It is described by an equation of motion which reduces to the ordinary sine--Gordon equation when the noncommutation parameter is removed, plus a constraint equation which is nontrivial only in the noncommutative case. We show that the system has an infinite number of conserved currents and we give the general recursive relation for constructing them. For the particular cases of lower spin nontrivial currents we work out the explicit expressions and perform a direct check of their conservation. These currents reduce to the usual sine-Gordon currents in the commutative limit. We find classical ``localized'' solutions to first order in the noncommutativity parameter and describe the Backlund transformations for our system. Finally, we comment on the relation of our noncommutative system to the commutative sine-Gordon system.

研究の動機と目的

• 可換でない2次元ユークリッド空間への古典的sine-Gordon系の一般化を、可積分性を保ったまま行う。
• 非可換形式において追加の制約方程式が生じる原因を特定する。これは、スター積下でのSU(2)対称性の破綻に起因する。
• 非可換設定において、可換sine-Gordon電流を一般化した無限階層の保存電流を構成する。
• 非可換パラメータθの摂動的展開を用いて、古典的局在解（擬似ソリトン）を計算する。
• 非可換フレームワークにおいて多ソリトン解を生成するためのBacklund変換を一般化する。

提案手法

• 可積分性の整合性条件として運動方程式を導出するため、平坦な共変微分を用いたbicomplexアプローチを採用する。
• 非可換sine-Gordon系を、スター積を用いた正弦相互作用を持つ方程式と、U(2)ゲージ構造に起因する制約方程式からなる連立系として定義する。
• 非可換パラメータθの摂動展開を用いて、2次までの保存電流を計算する。
• 保存電流の再帰的公式を導出し、スピン-2（ストレステンソル）とスピン-3電流を明示的に計算する。
• スター積の展開と付録Bの三角恒等式を用いて、θの各次数で保存則が成立することを順次検証する。
• 1ソリトン解を摂動的に計算し、非可換設定においてnソリトン解を生成するためのBacklund変換を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 sine-Gordon方程式は、可換でない2次元ユークリッド空間にどのように一貫的に一般化可能であり、可積分性を保たれるか？
• RQ2 非可換バージョンでは、可換の場合に存在しない追加の制約方程式がなぜ必要となるのか？
• RQ3 非可換系において無限個の保存電流を構成可能か？また、可換極限では標準的なsine-Gordon電流に還元されるか？
• RQ4 非可換性の影響による古典的ソリトン解への摂動的補正は何か？また、それらはソリトンの形状にどのように影響を与えるか？
• RQ5 非可換sine-Gordon系において、多ソリトン解を生成するためのBacklund変換をどのように適合可能か？

主な発見

• 非可換系は2つの連立方程式から構成される：1つはスター積を用いたsine-Gordon方程式の一般化であり、もう1つはゲージ群のU(2)構造に起因する非自明な制約方程式である。
• 再帰的公式を用いて、無限階層の保存電流が構成され、スピン-2（ストレステンソル）とスピン-3電流の明示的表現が得られた。両者ともθ → 0極限で可換sine-Gordon電流に還元される。
• スピン-2電流はθの2次までの精度で保存が確認され、bicomplex構成の整合性が裏付けられた。
• 可換の場合に全微分となるスピン-3電流は、θの1次までで自明であることが確認され、可積分性と整合的である。
• 1ソリトン解はθの2次までの摂動的展開で計算され、非可換性に起因するソリトンプロファイルの歪みが示された。
• 非可換フレームワークにおいてnソリトン解を生成する一般化されたBacklund変換が導出され、古典的構成を拡張した。