[論文レビュー] An integral equation for distorted wave amplitudes

Luca Visinelli, Paolo Gondolo|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2010

Quantum and Classical Electrodynamics参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、二つのポテンシャルが同時に作用する系における2粒子の散乱または消失振幅の正確な積分方程式を、部分波分解を必要とせずに導出する。一方のポテンシャルが遷移を駆動し、他方が初期状態の波動関数を歪める場合に適用可能である。主な貢献は、非摂動的でスピンおよびポテンシャルに一般化されたフレームワークを提供し、ダークマターの消失に伴う Sommerfeld 増幅を含む複雑な系における振幅の数値的解法を可能にすることにある。

ABSTRACT

We derive a new integral equation that allows the calculation of the scattering or annihilation amplitude of two particles subjected to two potentials when the corresponding amplitude for one potential only is known. We assume that scattering or annihilation occurs through one of the potentials, while the other potential affects the particle wave functions. Our expression is valid for any choice of the distorting potential and for any particle model. Our technique does not require the expansion of the amplitude into partial waves, and allows the study of models that are generally difficult to solve by means of the Schroedinger equation.

研究の動機と目的

• 二つのポテンシャルが同時に作用する場合の遷移振幅に対する正確な積分方程式を導出すること。ここで、一方のポテンシャル $\hat{W}$ が散乱／消失を駆動し、他方のポテンシャル $\hat{V}$ が初期状態の波動関数を歪める。
• s波やp波の共鳴状態がある系ではしばしば不実用的となる部分波分解の必要性を排除すること。
• 従来の手法（例：歪んだ波動 Born 近似（DWBA））を一般化し、任意のポテンシャル強さおよび粒子スピンに対して有効な正確な方程式を導出すること。
• ダークマターの消失、核ベータ崩壊、クォーカー系など、複数の相互作用が共存する多様な物理系に適用可能なフレームワークを提供すること。
• Wigner D行列とフーリエ変換されたポテンシャルに基づく分離可能な構造を用いて、スピン依存およびスピン非依存の両ケースにおける振幅の数値的計算を可能にすること。

提案手法

• 両方のポテンシャル $\hat{V}$ と $\hat{W}$ が存在する状況下で、全遷移振幅 $\mathcal{M}^{+}_{\beta\alpha}$ に対する正確な Lippmann-Schwinger 型積分方程式（式 (18)）を導出。この方程式は、$\hat{W}$ のみが存在する場合の振幅 $\mathcal{M}^{0}_{\beta\alpha}$ を前提としている。
• 出射散乱状態 $|\psi^{+}_{\alpha}\rangle$ を基底として用い、$\hat{H}_0 + \hat{W} + \hat{V}$ のシュレーディンガー方程式を満たす。振幅は自由状態振幅と、$\hat{V}$ およびグリーン関数を含む核関数の積み重ねで表現される。
• 回転対称性を活用し、$\hat{V}$ の行列要素を Wigner D行列 $D^{(S)}_{\Lambda\Lambda'}$ を用いて表現することで、スピンと運動量の依存性を分離可能にする。
• スピン非依存ポテンシャルの場合、振幅方程式は各総スピン $S$ に対して独立に分離され、$2S+1$ 個の独立した方程式に分解される（式 (31)）。
• 弱い $\hat{V}$ の場合に有効な簡略化を施すために、歪んだ波動 Born 近似（DWBA）を適用し、式 (21) の形に簡略化された形を得た。この近似は、$\hat{V}$ が小さい極限において正確であることが示された。
• 行列要素 $V_{\gamma\alpha}$ を表すために、フーリエ変換されたポテンシャル $\tilde{V}({\bf p} - {\bf k})$ を用い、運動量空間での積分による数値的実装を可能にした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの異なるポテンシャルが過程に影響を与える場合、一方が遷移を駆動し、他方が初期状態の波動関数を歪めるとき、散乱または消失振幅を正確にどのように計算できるか？
• RQ2 s波以外の成分や共鳴的挙動を示す系では、標準的な部分波展開を回避できるか？ もしそうなら、運動量空間で直接振幅を計算するにはどうすればよいか？
• RQ3 歪むポテンシャル $\hat{V}$ が存在しない状況における振幅と、全振幅との間の正確な積分方程式の形は何か？
• RQ4 スピン自由度の導入が振幅方程式の構造に与える影響は何か？ また、方程式はスピン部分空間に分離可能か？
• RQ5 歪んだ波動 Born 近似（DWBA）の下で、方程式の簡略化された形は何か？ また、既存の文献における手法と比較して、どのような特徴を示すか？

主な発見

• 二つのポテンシャル $\hat{V}$ と $\hat{W}$ が存在する状況下で、全遷移振幅 $\mathcal{M}^{+}_{\beta\alpha}$ に対する正確な積分方程式（式 (18)）が導出された。この方程式は、$\hat{W}$ のみが存在する場合の振幅 $\mathcal{M}^{0}_{\beta\alpha}$ を前提としている。
• 両方のポテンシャル $\hat{V}$ と $\hat{W}$ がスピン非依存の場合、振幅方程式は各総スピン $S$ に対して独立に分離され、各スピンチャンネルごとに効率的な数値的解法が可能になる。
• スピンゼロの粒子または三重項状態（$S = \Lambda = 0$）の場合、方程式は単一の積分方程式（式 (32)）に簡略化され、ポテンシャルのフーリエ変換 $\tilde{V}({\bf p} - {\bf k})$ を含む。
• 方程式の DWBA における極限（式 (21)）が導出され、弱い $\hat{V}$ に限らない任意のポテンシャル強さに対しても有効であることが示された。これにより、従来の近似手法の適用範囲が拡張された。
• 部分波分解を完全に回避するため、s波抑制やp波共鳴を示す系において、従来の手法が困難となる状況でも適用可能である。
• このフレームワークは一般性に富み、フェルミオン、ボソン、任意のポテンシャル形式（例：Yukawa型や非局所的相互作用）に適用可能である。これは、運動量空間での $\tilde{V}({\bf p} - {\bf k})$ の使用によって実証された。