[論文レビュー] An integral formula for the volume entropy with applications to rigidity

François Ledrappier, Xiaodong Wang|ArXiv.org|Nov 2, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、負の曲率を仮定しない一般の正則リーマン被覆のバスマン境界に一般化されたパターソン＝サリバン測度を用いて、体積エントロピーの新しい積分公式を確立する。コンパクト多様体のリッチ曲率が $-(n-1)$ 以上である場合、体積エントロピーが $n-1$ に等しいことは、かつそれがかつては非正曲率の設定に限られていた結果を、新しい幾何学的・測度論的技法により非負曲率の設定へと拡張する剛性定理を証明する。

ABSTRACT

We extend the theory of Patterson-Sullivan measure to any regular covering of a compact manifold using the Busemann compactification and derive an integral formula for the volume entropy. As applications we prove some rigidity theorems for the volume entropy.

研究の動機と目的

• 非正曲率に限らない一般の正則リーマン被覆へのパターソン＝サリバン測度理論の拡張。
• バスマン境界上のラミネートされた発散および勾配を用いた体積エントロピーの積分公式の確立。
• 剛性結果の証明：コンパクト多様体で $\mathrm{Ric} \geq -(n-1)$ の下で、体積エントロピーが最大値 $n-1$ に達するのは、かつそれが双曲空間に等長であるときのみ。
• リッチ曲率の下界を満たすケーラーおよびクaternion的ケーラー多様体に対しても同様の剛性結果を拡張する。
• 負の曲率を仮定しないリーマン幾何学におけるエントロピー不変量を研究するための新しい幾何学的・解析的枠組みの提供。

提案手法

• バスマンコンパクト化を用いて、空間 $X_M = (\widetilde{M} \times \partial\widehat{M})/G$ 上に $G$-不変な確率測度 $\nu$ を構成する。
• ラミネートされた発散および勾配を含む積分公式を導出する：$\int \mathrm{div}^\mathcal{W} Y \, d\nu = v \int \langle Y, \nabla^\mathcal{W} \xi \rangle \, d\nu$。
• ケーラーおよびクaternion的ケーラー幾何学における体積成長およびラプラシアンの比較定理を用いてエントロピーを評価する。
• ボッハナーの公式および曲率推定を用いて、バスマン関数とそのヘッセ行列の挙動を分析する。
• 支持関数 $u_s(x) = \xi(p) + d(x, \gamma(s)) - s$ を用いた極限的議論により、$\xi_{i\overline{j}}$ および $\xi_{ij}$ の点ごとの推定を得る。
• 過剰決定系 $\xi_{i\overline{j}} = \delta_{ij}$, $\xi_{ij} = -2\xi_i\xi_j$ を用いて、複素またはクaternion的双曲空間への等長写像を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 負の曲率を仮定しないリーマン多様体に対しても、パターソン＝サリバン測度理論を拡張できるか？
• RQ2 ラミネートされた幾何構造およびバスマン境界上の発散と関連する、体積エントロピーの一般積分公式が存在するか？
• RQ3 リッチ曲率が $\mathrm{Ric} \geq -(n-1)$ の下で、体積エントロピーが $v = n-1$ に等しいことは、双曲的であることを示唆するか？
• RQ4 ケーラーおよびクaternion的ケーラー多様体に対しても、曲率の下界を満たす場合に同様の剛性結果を確立できるか？
• RQ5 曲率の下界を満たす下で、体積エントロピーが最大値に達するとき、どのような幾何的制約が生じるか？

主な発見

• 本稿は、ラミネート空間 $X_M = (\widetilde{M} \times \partial\widehat{M})/G$ 上に $G$-不変な確率測度 $\nu$ を構成し、ラミネートされた発散および勾配を含む積分公式を満たすことを示した。
• コンパクトリーマン多様体で $\mathrm{Ric} \geq -(n-1)$ を満たすとき、体積エントロピーは $v \leq n-1$ を満たし、等号が成り立つのは、かつそれが普遍被覆が $\mathbb{H}^n$ に等長であるときのみ。
• ケーラーの場合、双曲的曲率が $K_\mathbb{C} \geq -2$ を満たすとき、$v \leq 2m$ であり、等号が成り立つのは $\widetilde{M}$ が $\mathbb{CH}^m$ に等長であるときのみ。
• クaternion的ケーラーの場合、スカラー曲率が $-16m(m+2)$ の下で、体積エントロピーは $v \leq 4m$ を満たし、等号が成り立つのは $\widetilde{M}$ が $\mathbb{HH}^m$ に等長であるときのみ。
• バスマン関数 $\xi$ が $\Delta \xi = 2m$, $|\nabla \xi| = 1$, および $\xi_{i\overline{j}} = \delta_{ij}$, $\xi_{ij} = -2\xi_i\xi_j$ を満たす場合、それが対称空間から生じることを示し、$\mathbb{CH}^m$ や $\mathbb{HH}^m$ への等長写像を結論づける。
• 結果として、リッチ曲率や曲率の下界を満たす下で、体積エントロピーに強い剛性が確立されるが、これは $v$ が下部スペクトル $\lambda_0$ よりも弱い不変量であるにもかかわらず成り立つ。