[論文レビュー] An integral inequality for the invariant measure of a stochastic reaction--diffusion equation

Giuseppe Da Prato, Arnaud Debussche|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非白色雑音を伴う確率的反応拡散方程式の不変測度 ν に対する新しい積分不等式を確立し、ガウス測度に限らない非ガウス測度へのミリャイキン微積分の部分積分公式の拡張を実現する。主な結果として、ν のフォーミン微分可能性およびヒルバート空間 H 内の球および半空間上における表面測度の存在が証明される。

ABSTRACT

We consider a reaction--diffusion equation perturbed by noise (not necessarily white). We prove an integral inequality for the invariant measure $\ u$ of a stochastic reaction--diffusion equation. Then we discuss some consequences as an integration by parts formula which extends to $\ u$ a basic identity of the Malliavin Calculus. Finally, we prove the existence of a surface measure for a ball and a half-space of $H$.

研究の動機と目的

• 確率的偏微分方程式に生じるガウス測度から非ガウス測度 ν への部分積分公式の拡張を図ること。
• δ > 0 に対して、Sobolev 空間 H^{1+δ+γ}(O) の方向における ν のフォーミン微分可能性を確立すること。
• ヒルバート空間 H 内の球および半空間に対する ν に関する表面測度の存在を証明すること。
• 非ホワイトノイズへのビスマールト–エルホイティ–リの公式の一般化を行い、遷移半群の勾配に関する推定を得ること。
• 非ガウス測度下での無限次元空間における表面積分および幾何測度論の厳密な枠組みを提供すること。

提案手法

• 確率的反応拡散方程式の解の勾配 DX(t,x) に対する、Sobolev 空間 H^{1+δ+γ}(O) 内の事前推定を導出する。
• 近似方程式 (1.8) にビスマールト–エルホイティ–リの公式を適用し、ε → 0 の極限を取ることで主な積分不等式を導出する。
• 補間不等式およびソボレフ埋め込み定理を用いて、L^p(H,ν) 内の (−A)^{−α}Dφ のノルムを制御する。
• 非線形項 p のヨシダ近似 p_ε を用いることで正則性を保証し、確率解析の道具を適用可能にする。
• ホルダーおよびヤングの不等式を用いて、部分積分公式における項を制御し、一様な有界性を証明する。
• 集合の特性関数の近似を用いて表面測度を構成し、表面密度の L^p 有界性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的偏微分方程式におけるガウス測度から非ガウス測度 ν への部分積分公式を拡張することは可能か？
• RQ2 確率的反応拡散方程式の不変測度 ν が、Sobolev 方向でフォーミン微分可能となる条件は何か？
• RQ3 ヒルバート空間 H 内の球や半空間に対して、ν に関する表面測度が存在するか？
• RQ4 非ホワイトノイズに適応可能なビスマールト–エルホイティ–リの公式はどのように構築され、勾配推定に応用できるか？
• RQ5 無限次元の等高面集合における表面測度の存在を保証するための、ノイズおよび非線形性の十分条件は何か？

主な発見

• すべての φ ∈ L^p(H,ν)（p > 1）および h ∈ H^{1+δ+γ}(O) に対して、不等式 ∫_H ⟨Dφ(x), h⟩ dν(x) ≤ C_p ‖φ‖_{L^p(H,ν)} |h|_{1+δ+γ} が成り立ち、C_p は φ に依存しない。
• 不変測度 ν は α > 1 に対して D((-A)^{α/2}) のすべての方向でフォーミン微分可能であり、古典的ミリャイキン微積分を非ガウス的設定へと拡張する。
• ∑_j α_j^{-1} b_j < ∞ が成り立つ限り、半空間 {x ∈ H : ⟨x, b⟩ = r} 上に表面測度 σ_r が存在する。これは表面密度の可積分性を保証する。
• H 内の球に対しては、表面測度が近似測度の極限として存在し、ε → 0 のとき表面密度に一様な L^k 界が得られる。
• 条件 ∑_j α_j^{-1} b_j < ∞ の下で、半空間の表面密度は L^2(H,ν) に属し、適切に定義された表面測度の存在が確認される。
• 証明は、ホルダーおよびヤングの不等式をビスマールト–エルホイティ–リの公式に適用することで、近似問題における表面密度の一様 L^p 界を確立することに依存する。