[論文レビュー] An integral method for solving nonlinear eigenvalue problems

Wolf‐Jürgen Beyn|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2010

Matrix Theory and Algorithms参考文献 42被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複素平面内の指定された輪郭内に存在する非線形正則固有値問題のすべての固有値および固有ベクトルを計算するための輪郭積分法を提示する。ケルドイシュの定理を活用し、台形則による輪郭積分の近似を用いることで、非線形問題を小規模な線形固有値問題に還元し、四則節点数および固有値と輪郭との距離に応じて指数関数的収束を達成する。

ABSTRACT

We propose a numerical method for computing all eigenvalues (and the corresponding eigenvectors) of a nonlinear holomorphic eigenvalue problem that lie within a given contour in the complex plane. The method uses complex integrals of the resolvent operator, applied to at least $k$ column vectors, where $k$ is the number of eigenvalues inside the contour. The theorem of Keldysh is employed to show that the original nonlinear eigenvalue problem reduces to a linear eigenvalue problem of dimension $k$. No initial approximations of eigenvalues and eigenvectors are needed. The method is particularly suitable for moderately large eigenvalue problems where $k$ is much smaller than the matrix dimension. We also give an extension of the method to the case where $k$ is larger than the matrix dimension. The quadrature errors caused by the trapezoid sum are discussed for the case of analytic closed contours. Using well known techniques it is shown that the error decays exponentially with an exponent given by the product of the number of quadrature points and the minimal distance of the eigenvalues to the contour.

研究の動機と目的

• 指定された輪郭内に存在する非線形正則固有値問題のすべての固有値および固有ベクトルを計算するグローバル数値法の開発。
• 大多数の反復解法が要請する初期固有値または固有ベクトルの近似を不要にする。
• 固有値の数が行列次元を上回る場合、あるいは固有空間にランク不足が生じる場合への拡張。
• スパース直接解法を用いることで中程度のスケールの問題に対しても安定かつグローバル収束する手法の提供。

提案手法

• 本手法は、複素輪郭上のリゾルベント $ T(z)^{-1} $ の積分を用い、$ N $ 個の四則節点を用いた台形則により計算する。
• $ p = 0,1 $ に対して、$ \hat{V} $ をランダムな $ m \times k $ 行列とするとき、モーメント行列 $ A_p = \frac{1}{2\pi i} \int_\Gamma z^p T(z)^{-1} \hat{V} \, dz $ を構築する。
• 積分は $ A_{p,N} = \frac{1}{iN} \sum_{j=0}^{N-1} T(\varphi(t_j))^{-1} \hat{V} \varphi(t_j)^p \varphi'(t_j) $ として近似され、$ Nk $ 個の線形方程式系の解法に帰着される。
• モーメント行列 $ B_{0,N} $ の特異値分解（SVD）を用いて不変部分空間の次元 $ k $ を特定し、縮小された固有値問題は $ D = V_0^H B_{1,N} W_0 \Sigma_0^{-1} $ を通じて解かれる。
• $ k > m $ の場合、本手法は $ p = 2\lceil k/m \rceil - 1 $ までモーメントを計算することで拡張され、ランク不足の固有空間に対しても対応可能となる。
• 本手法は、一般化固有ベクトルおよびその随伴を用いてリゾルベントの特異部を表現するケルドイシュの定理に依拠している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバルで微分を必要としない手法が、初期推定値を要せず、輪郭内に存在するすべての固有値および固有ベクトルを計算可能か？
• RQ2 解析的輪郭に対して、四則節点数を増加させた際の四則誤差の減衰割合はいかほどか？
• RQ3 固有値の数が行列次元を上回る場合にも、本手法を拡張可能か？
• RQ4 非線形問題で一般的に見られる固有空間のランク不足を、正しく捉えるにはどうすればよいか？

主な発見

• 四則誤差は、四則節点数 $ N $ と固有値と輪郭との最小距離の積に比例するレートで指数的に減少する。
• $ N \approx 25 $ の四則節点を用いることで、固有値が凝集している場合や離れている場合の両方において、数値例で高い精度が達成される。
• ランク不足の行列多項式例では、期待通りに3つの生存する特異値を伴い、固有値 $ a = -0.2 $ および $ b = 1 $ を正しく回復した。
• $ \tau = 1 $ の遅延系例では、中心が $ -1 $、半径6の円内に5つの固有値が存在し、Kressnerの手法と一致する結果が得られ、$ N = 150 $ 時に達成された。
• 残差 $ \|T(\lambda_j)v_j\| $ は $ N $ が増加するに従い急速に減少し、中程度の $ N $ でも高い精度が得られる。$ N = 150 $ 時に十分な精度が得られた。
• 拡張アルゴリズムは、遅延系の特性方程式のような $ k > m $ の場合に対しても、モーメントインデックス範囲を拡大し、SVDに基づくランク検出を用いることで正常に処理可能である。