[論文レビュー] An Integral PBW Basis of the Quantum Affine Algebra of Type A$_{2}^{(2)}$

Tatsuya Akasaka|arXiv (Cornell University)|May 21, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ブレード群作用と修正された虚根ベクトルを用いて、型 $A_2^{(2)}$ の量子アフィン代数の正部分 $U^+$ に対して整数係数 PBW 基底と整数係数クリスタル基底を構成する。Lusztig の $U^+$ の分解に関する未解決問題を解き、新しい生成子 $P_n$ とシュール関数 $S_\lambda$ を用いて、写像 $U_Z^+(>) \otimes U_Z^+(0) \otimes U_Z^+(<) \to U_Z^+$ が同型であることを証明し、グローバルクリスタル基底を得る。

ABSTRACT

We construct an integral PBW basis and an integral crystal basis of the quantum affine algebra of type A$_{2}^{(2)}$.

研究の動機と目的

• 型 $A_2^{(2)}$ の量子アフィン代数の正部分 $U^+$ に対して整数係数 PBW 基底と整数係数クリスタル基底を構成すること。
• 正実根および虚根に付随する部分代数への $U^+$ の分解に関する Lusztig の未解決問題 [L, 40.2.5] を解くこと。
• 標準的な虚根ベクトル $\tilde{\psi}_n$ を新しい生成子 $P_n$ に修正することにより、整数環 $\mathbb{Z}[q_1, q_1^{-1}]$ 上の $U_Z^+$ の基底を定義すること。
• シュール関数 $S_\lambda$ がドリンフェルトの内積に関して準正規直交的であることを示すことにより、その基底がグローバルクリスタル基底であることを証明すること。

提案手法

• ブレード群作用 $T_1^{-1}T_0^{-1}$ および $T_0T_1$ を用いて、正実根 $R_{\text{re}}^{(>)}$ および $R_{\text{re}}^{(<)}$ の実根ベクトル $E_{\alpha}$ を、チェバリーゲネレータ $e_0, e_1$ に作用させることで定義する。
• 標準的な虚根ベクトル $\tilde{\psi}_n = [E_{\delta - \alpha_1}, E_{(n-1)\delta + \alpha_1}]_{q^{-1}}$ を導入し、$\mathbb{Z}[q_1, q_1^{-1}]$-部分代数 $U_Z^+(0)$ を生成することを証明する。
• 各 $n \geq 1$ に対して $P_n = [2n]_1^{-1} \sum_{k=0}^{n-1} P_k \tilde{\psi}_{n-k} q^{-k}$ を定義し、$P_0 = 1$ とおく。$P_n \in U_Z^+$ であることを証明する。
• 実根ベクトルの除法冪とシュール関数 $S_\lambda = \det(P_{\lambda_i - i + j})_{i,j \geq 1}$ を用いて、$\mathbb{Z}[q_1, q_1^{-1}]$-基底 $\{ E_c^+ S_\lambda E_c^- \}$ を構成する。
• 新しい $P_n$ 生成子を用いて、写像 $U_Z^+(>) \otimes U_Z^+(0) \otimes U_Z^+(<) \to U_Z^+$ が同型であることを証明する。
• ドリンフェルトの内積を用いて $S_\lambda$ の準正規直交性を確立する：$(S_\lambda, S_\mu) \equiv \delta_{\lambda\mu} \mod q_1^{-1} A$、ここで $A = \mathbb{Q}(q_1) \cap \mathbb{Z}[[q_1^{-1}]]$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型 $A_2^{(2)}$ の量子アフィン代数の正部分に対して、整数係数 PBW 基底を構成可能か？
• RQ2 $U_Z^+$ の整数係数形式に対して、正実根および虚根に付随する部分代数への分解を尊重する $\mathbb{Z}[q_1, q_1^{-1}]$-基底は存在するか？
• RQ3 標準的な虚根ベクトル $\tilde{\psi}_n$ をどのように修正すれば、$U_Z^+$ の $\mathbb{Z}[q_1, q_1^{-1}]$-基底が得られるか？（単純な積写像が全射でないため。）
• RQ4 $P_n$ 生成子から定義されるシュール関数 $S_\lambda$ は、ドリンフェルトの内積に関して準正規直交基底をなすか？
• RQ5 得られた基底はグローバルクリスタル基底の条件を満たすか？

主な発見

• $U_Z^+(0)$ が新しい虚根ベクトル $P_n$ で生成されるとき、写像 $U_Z^+(>) \otimes U_Z^+(0) \otimes U_Z^+(<) \to U_Z^+$ は $\mathbb{Z}[q_1, q_1^{-1}]$-加群として同型である。
• $P_n$ は $U_Z^+$ の元である。これは $\tilde{\psi}_n \in U_Z^+$ であることは自明であるが、$P_n$ の場合、非自明な結果である。
• シュール関数 $S_\lambda = \det(P_{\lambda_i - i + j})_{i,j \geq 1}$ は準正規直交的である：$(S_\lambda, S_\mu) \equiv \delta_{\lambda\mu} \mod q_1^{-1} A$、ここで $A = \mathbb{Q}(q_1) \cap \mathbb{Z}[[q_1^{-1}]]$。
• $c^+ \in \oplus_{\alpha \in R_{\text{re}}^{(>)}} \mathbb{Z}_{\geq 0}^{(\alpha)}$、$\lambda$ が分割、$c^- \in \oplus_{\alpha \in R_{\text{re}}^{(<)}} \mathbb{Z}_{\geq 0}^{(\alpha)}$ である基底 $\{ E_c^+ S_\lambda E_c^- \}$ は $U_Z^+$ の $\mathbb{Z}[q_1, q_1^{-1}]$-基底である。
• この基底は、その準正規直交性と整数性のおかげでグローバルクリスタル基底（従って整数係数クリスタル基底）である。[BCP] と同様の議論により確立される。
• 本構成により、Lusztig の未解決問題 [L, 40.2.5] が解決され、$U^+ \cong U^+(>) \otimes U^+(0) \otimes U^+(<)$ が $\mathbb{Q}(q_1)$-代数として成り立ち、$P_n$ 生成子を用いて整数的拡張がなされた。