[論文レビュー] An intermediate regime for exit phenomena driven by non-Gaussian Levy noises

Zhihui Yang, Jinqiao Duan|ArXiv.org|Aug 7, 2008

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、小規模な強度を持つ非ガウス型レヴィノイズで駆動される確率的力学系の最初の抜出自時刻を調査する。非ガウス型レヴィ過程で、重い尾を持つが厳密に安定でないジャンプを有するクラスに対して、平均抜出自時刻が漸近的に $ O\left(\frac{|\ln \varepsilon|}{\varepsilon^\alpha}\right) $ のスケーリングに従うことを確立した。これは、安定レヴィノイズの場合の多項式的抜出自時刻とガウス型ノイズの場合の指数的抜出自時刻の間の中間的状態を表す。

ABSTRACT

A dynamical system driven by non-Gaussian Lévy noises of small intensity is considered. The first exit time of solution orbits from a bounded neighborhood of an attracting equilibrium state is estimated. For a class of non-Gaussian Lévy noises, it is shown that the mean exit time is asymptotically faster than exponential (the well-known Gaussian Brownian noise case) but slower than polynomial (the stable Lévy noise case), in terms of the reciprocal of the small noise intensity.

研究の動機と目的

• 小規模なノイズ強度下での有界領域からの確率的力学系の最初の抜⾃自時刻を分析すること。
• 非ガウス型レヴィ過程で駆動される場合の平均抜⾃自時刻の漸近的挙動を特徴づけること。
• 多項式的および指数的抜⾃自時刻挙動の間の新たな中間的スケーリング状態を特定すること。
• この中間的状態が出現するためのレヴィジャンプ測度の条件を確立すること。
• 従来の抜⾃自時刻理論をガウス型および厳密に安定なレヴィノイズのケースを超えて拡張すること。

提案手法

• 小規模なノイズ強度 $ \varepsilon $ の下で、ドリフト、拡散、およびレヴィジャンプ測度 $ \nu $ を有するスカラー確率微分方程式（SDE）を分析する。
• レヴィ過程の生成作用素を用い、大偏差原理を適用して区間 $ [-b,a] $ からの平均抜⾃自時刻 $ E_x[\sigma(\varepsilon)] $ を推定する。この区間は吸引的平衡点を含む。
• レヴィ測度 $ \nu $ に以下の条件を課す：$ \nu(dy) \sim \frac{dy}{|y|^{1+\alpha}(|1 + \frac{\ln|y|}{-\ln \varepsilon}| + \frac{1}{-\ln \varepsilon})} $（$ \varepsilon $ が小さい場合）、これによりべき則的尾に対数的補正を導入する。
• リーマン収束定理および漸近的解析を用いて、正規化された抜⾃自時刻分布の収束を検証する。
• 出口境界上のジャンプ測度の積分の逆数を含む極限議論により、漸近的平均抜⾃自時刻を導出する。
• 得られたスケーリング $ O\left(\frac{|\ln \varepsilon|}{\varepsilon^\alpha}\right) $ を既知のケースと比較する：安定レヴィノイズでは $ O(\varepsilon^{-\alpha}) $、ガウス型ノイズでは $ \exp(C/\varepsilon^2) $。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小規模な強度を持つ非ガウス型レヴィノイズで駆動される確率的系の平均最初の抜⾃自時刻の漸近的スケーリングは何か？
• RQ2 安定レヴィノイズの多項式的抜⾃自時刻とガウス型ノイズの指数的抜⾃自時刻の間の状態が存在可能か？
• RQ3 レヴィジャンプ測度の構造が抜⾃自時刻のスケーリングにどのように影響するか？
• RQ4 レヴィ測度にどのような条件下で抜⾃自時刻が $ O\left(\frac{|\ln \varepsilon|}{\varepsilon^\alpha}\right) $ にスケーリングするか？
• RQ5 この中間的状態は、べき則的尾に近いレヴィ測度の摂動に対して頑健か？

主な発見

• レヴィ測度に対数的補正を含む非ガウス型レヴィ過程のクラスに対して、平均抜⾃自時刻は $ E_x[\sigma(\varepsilon)] \sim \alpha \left( \frac{1}{a^\alpha} + \frac{1}{b^\alpha} \right)^{-1} \frac{|\ln \varepsilon|}{\varepsilon^\alpha} $ にスケーリングされる。
• このスケーリングは中間的状態を表す：安定レヴィノイズの多項式的 $ O(\varepsilon^{-\alpha}) $ より速く、ガウス型ノイズの指数的 $ \exp(C/\varepsilon^2) $ より遅い。
• レヴィ測度における対数的補正、$ \nu(dy) \sim \frac{dy}{|y|^{1+\alpha}(|1 + \frac{\ln|y|}{-\ln \varepsilon}| + \frac{1}{-\ln \varepsilon})} $ が、この中間的スケーリングを達成するために不可欠である。
• 初期条件 $ x \in [-b + \gamma, a - \gamma] $（$ \gamma > 0 $）に対して、この結果は成り立つ。これにより、過程が境界から離れた初期状態から開始されることを保証する。
• 大偏差技法および正規化された抜⾃自時刻に適用された収束定理を用いて、漸近的挙動が厳密に導出された。
• 解析により、レヴィ測度がべき則的より速く、指数的より遅く減衰する場合に中間的状態が出現することが確認された。対数的要因が臨界的転移を引き起こす。