[論文レビュー] An Interpolating Distance between Optimal Transport and Fisher-Rao

Lénaïc Chizat, Bernhard Schmitzer+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 33

ひとこと要約

本稿では、質量輸送と質量の生成・消滅を、源項を含む動的定式化によって組み合わせることで、最適輸送（ウォッサーシュタイン）とファイシャー・ライオの幾何学の間を補間する、新しいリーマン的距離 WFδ を導入する。この方法は、質量が不釣り合いな測度に対しても一般化され、測度間の地図が存在することを示し、局所的な質量増加に適応する画像補間において優れた性能を示す。

ABSTRACT

This paper defines a new transport metric over the space of non-negative measures. This metric interpolates between the quadratic Wasserstein and the Fisher-Rao metrics and generalizes optimal transport to measures with different masses. It is defined as a generalization of the dynamical formulation of optimal transport of Benamou and Brenier, by introducing a source term in the continuity equation. The influence of this source term is measured using the Fisher-Rao metric, and is averaged with the transportation term. This gives rise to a convex variational problem defining our metric. Our first contribution is a proof of the existence of geodesics (i.e. solutions to this variational problem). We then show that (generalized) optimal transport and Fisher-Rao metrics are obtained as limiting cases of our metric. Our last theoretical contribution is a proof that geodesics between mixtures of sufficiently close Diracs are made of translating mixtures of Diracs. Lastly, we propose a numerical scheme making use of first order proximal splitting methods and we show an application of this new distance to image interpolation.

研究の動機と目的

• 最適輸送は質量が等しい測度にしか適用できないという制限を克服し、質量の生成・消滅を伴う不釣り合いな測度へ一般化すること。
• 再パrametrization不変性と幾何的整合性を保証する、最適輸送とファイシャー・ライオ幾何学を統合するリーマン的距離の開発。
• 安定な数値計算と地図の理論的解析を可能にする凸な変分的定式化の提供。
• 質量変動が本質的な医療画像や形状補間の分野における実用的応用の実現。
• 原子測度と滑らかな測度の間の地図の挙動に関する理論的基盤の確立、特に極限ケースや構造的性質を含む。

提案手法

• 連続の方程式 ∂tρ + ∇·ω = ζ に源項 ζ を含めた動的最適輸送問題を定式化し、時間経過による質量変化を許容する。
• ファイシャー・ライオ距離から導かれる項 ∫∫ |ζ|²/ρ dxdt を導入し、質量の生成・消滅のコストを測定する。
• 全エネルギー汎関数を重み付き和として定義：∫∫ |ω|²/ρ dxdt + δ²∫∫ |ζ|²/ρ dxdt で、δ が最適輸送と質量変化の間の補間を制御する。
• 数値実装のため、一階のプロキシマルスプリット法を用いて得られる凸変分問題を解く。
• 双対定式化を用いて最適性条件を導出し、双対変数 ϕ を質量増加率として解釈する。
• 質量の合計が異なる密度の間の地図を計算することで、画像補間にこの距離を応用し、特に生物学的および合成画像の例に適用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適輸送を、質量が異なる測度を扱えるように一般化する方法は何か？ その際、幾何的性質と凸性を保つことができるか？
• RQ2 提案された補間距離における地図の構造は何か？ 特に原子測度の間ではどうなるか？
• RQ3 補間パラメータ δ が地図の挙動に与える影響は何か？ また、δ → 0 や δ → ∞ の極限ケースではどうなるか？
• RQ4 提案された距離は、効率的な数値実装が可能であり、実世界の画像補間タスクに応用可能か？
• RQ5 リーマン的構造や測度の台の摂動に対して安定性を保つような望ましい幾何的性質を、この距離が保持するか？

主な発見

• 提案された WFδ 距離は、凸で同次的かつ動的最小化問題に基づく唯一のリーマン的距離であり、最適輸送とファイシャー・ライオ距離の間を補間する。
• すべての δ > 0 に対して地図が存在し、測度の空間における凸変分問題として適切に定式化されている。
• δ → 0 の極限では、距離は2次 Wasserstein 距離 W2 に収束する。δ → ∞ の極限では、ファイシャー・ライオ距離に収束する。
• 十分に近いディラック質量の混合物に対しては、地図はディラック質量の混合物の移動から構成され、原子的構造が保存される。
• 数値実験では、WFδ が W2 や部分的輸送よりも、特に不均一な組織成長を示す生物学的画像においてより直感的な画像補間を実現する。
• WFδ の地図における速度場は、質量増加に局所的に適応するが、W2 では全領域の輸送が強制される。源項は物理的に意味のある増加率（双対変数 ϕ として解釈可能）を提供する。