[論文レビュー] An Interpolating Family of Size Distributions

Corinne Sinner, Yves Dominicy+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2016

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、[x_0, ∞) 上の新しい五パラメータの補間的サイズ分布族を導入し、パワー則（例：パレート）と指数カットオフ付きパワー則（例：ワイブル）の間を滑らかに接続する。一般化ベータ分布よりも優れた取り扱いやすさと柔軟性を提供する。このモデルは、閉形式で表される主要関数の式と強固な最尤推定を備え、多様なデータ形状のシームレスなモデリングを可能にする。

ABSTRACT

We introduce a new five-parameter family of size distributions on the semi-finite interval $[x_0, \infty), x_0 \geqslant 0$, with two attractive features. First, it interpolates between power laws, such as the Pareto distribution, and power laws with exponential cut-off, such as the Weibull distribution. The proposed family is thus very flexible and spans over a broad range of well-known size distributions which are special cases of our family. Second, it has important tractability advantages over the popular five-parameter Generalized Beta distribution. We derive the hazard function, survival function, modes and quantiles, propose a random number generation procedure and discuss maximum likelihood estimation issues. Finally, we illustrate the wide applicability and fitting capacities of our new model on basis of three real data sets from very diverse domains, namely actuarial science, environmental science and survival analysis.

研究の動機と目的

• 多様な実応用においてパワー則と指数カットオフ付きパワー則の分布の選択という課題に対処すること。
• パレート型とワイブル型の間を滑らかに補間するが、数学的取り扱いやすさを保った統一的で柔軟なサイズ分布族の開発。
• 一般化ベータ分布の限界を克服し、正規化定数が単純で、パラメータの解釈が明確なモデルの提供。
• ハザード関数、生存関数、分位点関数、モード関数の導出により、実用的な統計的推論を可能にする。
• 保険科学、環境科学、生存分析を含む多様な実世界分野への広範な適用性を実証すること。

提案手法

• [x_0, ∞) 上の新しい確率密度関数を提案し、柔軟な変換によりパワー則と指数カットオフ付きパワー則の間を補間する。
• 位置パラメータ $x_0$、スケールパラメータ $c$、および形状パラメータ $b$、$p$、$q$ を用いて分布を定義し、閉形式の密度関数を提供する。
• 生存関数およびハザード関数を解析的に導出し、信頼性およびリスクモデリングへの応用を可能にする。
• 密度関数の一次微分を解くことで、サブファミリー IF1、IF2、IF3 に対してモードの閉形式表現を導出する。
• 分位点関数を用いた逆変換サンプリングに基づくランダム変量生成手順を開発する。
• 識別可能性および数値的安定性について議論しながら、最尤推定を実装する。特に、生存分析における右打ち切りデータに対しても有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様な柔軟な分布族が、パワー則と指数カットオフ付きパワー則の挙動の間を効果的に補間できるか。
• RQ2 多様なデータタイプにおいて、一般化ベータ分布と比較して、提案モデルの取り扱いやすさとフィッティング性能はどのように異なるか。
• RQ3 新規分布族におけるハザード関数、生存関数、モード関数の解析的性質は何か。
• RQ4 保険請求額、環境的極値、生存データなど、異なる分野の実世界データを、このモデルが正確にフィットできるか。
• RQ5 形状パラメータが、特に重い尾部と軽い尾部の領域の間を遷移させる際の分布の挙動にどのように影響を与えるか。

主な発見

• 提案された補間的ファミリーは、パレート分布とワイブル分布を特別ケースとして含み、一般化ベータ分布は極限ケースとして含まれることを示し、広範な包含性を示している。
• 新しい分布の正規化定数には特殊関数を含まないため、一般化ベータ分布と比較して計算上の取り扱いやすさが向上している。
• サブファミリー IF1（$p=0$）、IF2（$p \to \infty$）、IF3（$b=1$）に対して、モードが閉形式で導出されており、明示的な式が提供されている。
• IF1 において、$b > 1$ または $b < -1/q$ のとき、モードは $x_0 + c\left(\frac{b-1}{bq+1}\right)^{1/b}$ であり、それ以外の場合は境界で発生する。
• IF3 において、モードは $x_0 + c(p+1)^{-1/q}\left(\left(\frac{q+1}{(p+1)q+1}\right)^{-1/q} - 1\right)$ であり、$p, q \to 0$ のとき境界に収束する。
• 保険請求額、環境的風速、生存データの3つの実データセットに対して、モデルは優れたフィッティング性能を示し、標準的な代替モデルよりもフィッティング精度と解釈可能性の両面で優れている。