[論文レビュー] An interpretation of system F through bar recursion

Valentin Blot|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2017

Logic, programming, and type systems参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、実現可能性を用いて各F項の正規化までの還元手順の上限を抽出することで、単純型付き全関数的言語にバーレコursionを拡張した最初の構成的翻訳を提示する。これらの上限を原始再帰を用いて活用することで、正規形を計算し、多相型付けとバーレコursionに基づく計算の間の新たな橋渡しを提供する。

ABSTRACT

There are two possible computational interpretations of second-order arithmetic: Girard's system F or Spector's bar recursion and its variants. While the logic is the same, the programs obtained from these two interpretations have a fundamentally different computational behavior and their relationship is not well understood. We make a step towards a comparison by defining the first translation of system F into a simply-typed total language with a variant of bar recursion. This translation relies on a realizability interpretation of second-order arithmetic. Due to Godel's incompleteness theorem there is no proof of termination of system F within second-order arithmetic. However, for each individual term of system F there is a proof in second-order arithmetic that it terminates, with its realizability interpretation providing a bound on the number of reduction steps to reach a normal form. Using this bound, we compute the normal form through primitive recursion. Moreover, since the normalization proof of system F proceeds by induction on typing derivations, the translation is compositional. The flexibility of our method opens the possibility of getting a more direct translation that will provide an alternative approach to the study of polymorphism, namely through bar recursion.

研究の動機と目的

• 第二階算術の2つの異なる計算的解釈、すなわちSystem Fとバーレコursionの間の形式的関係を確立すること。
• 論理的同値であるにもかかわらず、System Fとバーレコursionの計算的関係についての理解の欠如に応えること。
• 型構造を保存し、正規化を可能にする、System Fからバーレコursionを備えた全関数的言語への翻訳を構築すること。
• ゲーデルの不完全性定理がもたらす制約を、個々の項の終了性を実現可能性を用いて抽出することで克服すること。

提案手法

• 第二階算術の実現可能性解釈を用いて、各System F項に対して正規形に至る還元手順の上限を関連付ける。
• 個々のSystem F項について、第二階算術がその終了性を証明できることに着目し、計算可能な上限を得る。
• 抽出された終了上限を用いて原始再帰により各System F項の正規形を計算する。
• 型推論の帰納に基づいて翻訳を構成することで、構造的保存を保証する。
• 単純型付き全関数的言語における計算的基盤として、バーレコursionの変種を採用する。
• 各型および各項がバーレコursion枠組み内の対応する項に一貫して再帰的に写像される、体系的で再帰的な翻訳を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 System Fからバーレコursionを備えた全関数的言語への構成的翻訳を構築可能か。型構造を保存できるか。
• RQ2 第二階算術の実現可能性解釈をどのように用いて、System F項の還元手順の有限上限を抽出できるか。
• RQ3 これらの抽出された上限を用いて、原始再帰がどの程度System F項の正規化をシミュレートできるか。
• RQ4 論理的同値であるにもかかわらず、計算的挙動が異なるSystem Fとバーレコursionの間の計算的関係は何か。
• RQ5 この翻訳が、多相性を検討する新しいバーレコursionベースのアプローチの基盤として機能できるか。

主な発見

• 本稿は、単純型付き全関数的言語にバーレコursionの変種を拡張した、System Fへの最初の構成的翻訳を成功裏に構築した。
• System Fの各個々の項について、実現可能性解釈により正規形に至る還元手順の有限上限が得られる。
• これらの上限を用いて原始再帰により各項の正規形が計算され、ターゲット言語内での完全な正規化が可能になった。
• 翻訳は構成的であり、型推論の帰納に基づくため、構造的整合性と拡張性が保証される。
• この方法により、バーレコursionsに基づく多相性の研究の新たな道筋が提供され、従来のSystem Fの意味論とは代替となる。
• グローバルな整合性証明ではなく、個々の項の終了性に注目することで、ゲーデルの不完全性定理を回避する。