[論文レビュー] An intersection number formula for CM-cycles in Lubin-Tate spaces

Qirui Li|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非アーチメデス的局体上の分離的二次拡大体 K₁, K₂ のすべての組み合わせをカバーする、すべてのレベルにおけるリュービン＝タート空間におけるCMサイクルの明示的算術的交点数公式を、無限レベルの定式化を用いて確立する。この公式は、すべての組み合わせに一様に適用可能であり、線形算術的基本定理（linear Arithmetic Fundamental Lemma）を明確な積分恒等式に翻訳する積分の比較を可能にする。

ABSTRACT

We give an explicit formula for the arithmetic intersection number of CM cycles on Lubin-Tate spaces for all levels. We prove our formula by formulating the intersection number on the infinite level. Our CM cycles are constructed by choosing two separable quadratic extensions K1, K2/F of non-Archimedean local fields F . Our formula works for all cases, K1 and K2 can be either the same or different, ramify or unramified. As applications, this formula translate the linear Arithmetic Fundamental Lemma (linear AFL) into a comparison of integrals. This formula can also be used to recover Gross and Keating’s result on lifting endomorphism of formal modules.

研究の動機と目的

• すべてのレベルにおけるリュービン＝タート空間におけるCMサイクルの、一様な算術的交点数公式を導出すること。
• 非アーチメデス的局体上における分離的二次拡大体 K₁, K₂ のすべての構成（同一、異なる、分岐、非分岐を含む）を扱うこと。
• 無限レベルでの交点数を定式化し、一般化された証明を可能にすること。
• この公式を用いて、線形算術的基本定理（linear AFL）を積分の比較に翻訳すること。
• GrossとKeatingの形式的加群の自己準同型の上昇に関する結果を、この公式の帰結として回復すること。

提案手法

• リュービン＝タート空間の無限レベル極限における算術的交点数を定式化し、グローバル構造を単純化すること。
• 非アーチメデス的局体 F 上の分離的二次拡大体 K₁, K₂ のペアを用いてCMサイクルを構成すること。
• p進均質化および変形理論を用いて、無限レベルにおけるCMサイクルの幾何学的性質を解析すること。
• 算術的交点論を適用し、各素点における局所的寄与によって交点数を計算すること。
• 交点数とテスト関数上の積分との間の比較を確立し、線形AFLと関連付けること。
• 公式の一様性を活用して、自己準同型の上昇に関する結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リュービン＝タート空間におけるCMサイクルの算術的交点数は、分岐および非分岐の両方を含むすべてのレベルおよびすべてのK₁, K₂の組み合わせに対してどのように与えられるか？
• RQ2 この交点数公式を用いて、線形算術的基本定理（linear AFL）をテスト関数上の積分の比較として再定式化できるか？
• RQ3 交点数公式を用いて、形式的加群の自己準同型の上昇に関する既知の結果を回復できるか？
• RQ4 無限レベル極限は、交点数の計算を単純化するために果たす役割は何か？
• RQ5 K₁ と K₂ が同一か異なる、あるいは異なる分岐型をとる場合、公式はどのように振る舞うか？

主な発見

• 本稿は、すべてのレベルおよびすべてのK₁, K₂の構成に対して有効な、リュービン＝タート空間におけるCMサイクルの算術的交点数の単一で一様な公式を提供する。
• この公式により、線形算術的基本定理（linear AFL）がテスト関数上の積分の比較に明確に翻訳可能になる。
• 無限レベルの定式化により、極限論的議論と変形理論との整合性を保ちながら、有限レベルの交点数が導出可能になる。
• この公式は、GrossとKeatingの形式的加群の自己準同型の上昇に関する結果を特別な場合として回復する。
• 分岐または非分岐、同一または異なる場合に関わらず、この方法は一様に適用可能である。
• 交点数は局所的寄与によって計算され、グローバルな公式はそれらの算術的組み合わせから導かれる。