[論文レビュー] An Interval Analysis Based Study for the Design and the Comparison of 3-DOF Parallel Kinematic Machines

Damien Chablat, Philippe Wenger+2 more|ArXiv.org|Aug 8, 2007

Robotic Mechanisms and Dynamics参考文献 16被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、速度伝達係数を用いたきんてい的性能の均一性を保つ最大の正方形または正立方体形状のドレキュアスワークスペース（正規のドレキュアスワークスペース）を特定することで、3自由度並列運動学的マシン（PKM）の設計と比較に、区間解析に基づく手法を提案する。この手法により、ワークスペース全体にわたり性能の保守的かつ保証された境界が得られ、オルソグライドとウラネSXの機構の厳密な比較が可能となり、最適化条件下でオルソグライドは46.8%のドレキュアスワークスペース比を達成するのに対し、ウラネSXは24.3%であった。

ABSTRACT

This paper addresses an interval analysis based study that is applied to the design and the comparison of 3-DOF parallel kinematic machines. Two design criteria are used, (i) a regular workspace shape and, (ii) a kinetostatic performance index that needs to be as homogeneous as possible throughout the workspace. The interval analysis based method takes these two criteria into account: on the basis of prescribed kinetostatic performances, the workspace is analysed to find out the largest regular dextrous workspace enclosed in the Cartesian workspace. An algorithm describing this method is introduced. Two 3-DOF translational parallel mechanisms designed for machining applications are compared using this method. The first machine features three fixed linear joints which are mounted orthogonally and the second one features three linear joints which are mounted in parallel. In both cases, the mobile platform moves in the Cartesian x-y-z space with fixed orientation.

研究の動機と目的

• 正規形状のドレキュアスワークスペースを有し、きんてい的性能が均一となる3-DOF PKMの、厳密で保証された設計手法の開発。
• 既存手法が性能の均一性を保証できない、またはワークスペース計算における形式的保証を提供しないという限界を是正すること。
• ドレキュアスワークスペースの大きさと正規性を考慮した、2つの3自由度直線運動PKM（オルソグライドとウラネSX）の比較。
• 区間解析に基づく形式的アルゴリズムを提供し、カーテシアンワークスペース内に存在する最大のドレキュアスワークスペース（立方体または正方形）を計算可能にすること。
• ワークスペース効率と性能の一様性を定量的に評価することで、切削加工用途における設計意思決定を支援すること。

提案手法

• 区間解析を用いて、(JJᵀ)⁻¹の固有値から導かれる速度伝達係数（ψ₁, ψ₂, ψ₃）の保証された境界を計算し、性能の一様性を確保する。
• ドレキュアスワークスペースは、伝達係数が所定の範囲内に保たれる点の集合として定義される：ψ_min ≤ ψ_i ≤ ψ_max（i = 1,2,3）。
• 区間算術を用いて特異点を回避しながら、カーテシアンワークスペース内に正規のドレキュアスワークスペース（オルソグライドでは立方体、ウラネSXでは正方形）のサイズと位置を最適化するアルゴリズムを実装する。
• 各機構固有の幾何的制約（例：オルソグライドでは直交する直線ジョイント、ウラネSXでは平行な直線ジョイント）を統合し、特異配置付近の数値的問題を回避する。
• ドレキュアスワークスペースの最大体積を全カーテシアンワークスペースに対する相対的体積として計算し、CADシミュレーションによる妥当性を検証する。
• 性能評価には2つの指標を用いる：Δf（伝達係数の最大変動）とΔρ（ドレキュアスワークスペース体積／カーテシアンワークスペース体積比）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区間解析を用いることで、3-DOF PKMにおいてきんてい的性能が均一となる最大の正規形状ドレキュアスワークスペースを厳密に計算できるか？
• RQ2 構造的差異（例：直交する直線ジョイント対平行な直線ジョイント）が、ドレキュアスワークスペースの大きさと形状に与える影響は何か？
• RQ3 最適化設計条件下で、オルソグライドとウラネSXの間でドレキュアスワークスペース比（ドレキュアス体積／カーテシアン体積）はどのように比較されるか？
• RQ4 提案手法は、離散化に基づく手法に起因する近似誤差を避けるために、ドレキュアスワークスペース全体にわたり性能の一様性を形式的に保証できるか？
• RQ5 目標とするドレキュアスワークスペースサイズを達成しつつ、性能の一様性を維持するための幾何的パラメータ（アーム長、範囲制限）は何か？

主な発見

• オルソグライドのドレキュアスワークスペース比は46.8%（0.265 m³ / 0.566 m³）であり、ウラネSXの24.3%（0.132 m³ / 0.544 m³）を大きく上回っている。
• 同一のターゲット立方体ドレキュアスワークスペース（L_workspace = 1）を想定した場合、オルソグライドは短いアーム長（1.55 m）と小さな範囲制限（1.28 m）で実現可能であるのに対し、ウラネSXはアーム長1.96 m、範囲制限1.69 mを必要としている。
• オルソグライドの伝達係数変動（Δf = 0.181）は、ウラネSXのそれ（Δf = 0.353）よりも低く、性能の一様性が優れていることが示された。
• オルソグライドのカーテシアンワークスペースはより規則的でほぼ立方体に近く、より大きなドレキュアス立方体を実現可能である。一方、ウラネSXのワークスペースは対称性に欠け、ドレキュアス正方形のサイズが制限されている。
• 本手法は、離散化に基づく手法に内在する近似誤差を回避し、形式的保証のもとで最大のドレキュアスワークスペースを的確に同定できた。
• 結果から、構造的対称性（オルソグライドの例）が、3-DOF PKMにおける大規模で正規かつ均一なドレキュアスワークスペースの実現可能性を高めることを確認した。