[論文レビュー] An intrinsic definition of the Rees algebra of a module

Gustav Sædén Ståhl|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2014

Commutative Algebra and Its Applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、ネーター環上の有限生成加群のリース代数について、自由加群への写像の積分に基づく従来の外的定義を置き換える、内的な、分割冪に基づく定義を提示する。主な貢献は、リース代数が自然な写像 Sym(M) → Γ(M*)∨ の像に同型であることを示したことであり、Γ(M*)∨ は双対加群 M* の分割冪代数の巾的双対である。これにより、関手的かつ座標に依存しない特徴付けが得られる。

ABSTRACT

This paper concerns a generalization of the Rees algebra of ideals due to Eisenbud, Huneke and Ulrich that works for any finitely generated module over a noetherian ring. Their definition is in terms of maps to free modules. We give an intrinsic definition using divided powers.

研究の動機と目的

• ネーター環上の有限生成加群のリース代数について、座標に依存しない内的な定義を提供すること。
• アイゼンバーグ、フーンケ、ウルリッヒの定義—自由加群への写像の積分に基づく—を、分割冪を用いた定式化に置き換えること。
• 対称代数と分割冪代数の関手的構造を用いて、リース代数の構成の関手的性と自然性を確立すること。
• イデアルに限らない加群のリース代数の既存の構成を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 加群 M の対称代数 Sym(M) とその双対加群 M* の分割冪代数 Γ(M*) を用いる。
• Hom(Γn(M*), A) を通じて、Γ(M*)∨ を巾的 A-代数として構成する。
• 自然な写像 M → M** ⊂ (Γ(M*))₁ を通じて、Sym(M) → Γ(M*)∨ への A-代数準同型を定義する。
• 商余核を保存する関手および双代数構造の理論を応用し、対称代数と分割冪代数を関連付ける。
• versal 写像 M → F を用いて、外的定義と内的定義を、写像 Γ(M*)∨ → Γ(F*)∨ による単射を介して結びつける。
• 自由加群 F に対して Γ(F*)∨ ≅ Sym(F) が成り立つことを利用して、両定義の同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネーター環上の有限生成加群のリース代数は、自由加群への写像に依存せずに、内的に定義可能か？
• RQ2 特に分割冪を含む自然な代数的構造は、座標に依存しない方法でリース代数を特徴づけられるか？
• RQ3 自然な写像 Sym(M) → Γ(M*)∨ は、自由加群への写像の積分に基づく元の定義とどのように関係するか？
• RQ4 リース代数の構成の関手的性は、内的定義から直接導出可能か？
• RQ5 二重双対とversal 写像は、外的定義と内的定義を結ぶ際に果たす役割は何か？

主な発見

• リース代数 R(M) は、自然な写像 Sym(M) → Γ(M*)∨ の像に同型であり、完全に内的な定義が得られる。
• この内的定義は、アイゼンバーグ、フーンケ、ウルリッヒの元の外的定義（自由加群への写像の無限大の積分に基づく）と同値である。
• 自然な写像 Sym(M) → Γ(M*)∨ は関手的であるため、R(M) は Mod_A から Alg_A への関手として自然に拡張される。
• 巾的双対 Γ(M*)∨ には自然な代数構造が備わっており、Sym(M) への像が R(M) を Sym(M) の商として回復する。
• 埋め込みを自由加群に依存させるのではなく、M 及びその双対の内在的構造に依存する。
• 証明は、versal 写像 M → F に対して、誘導写像 Γ(M*)∨ → Γ(F*)∨ が単射であり、Γ(F*)∨ ≅ Sym(F) が成り立つことに依拠しており、これにより元の定義と比較可能となる。