[論文レビュー] An Introduction into the Feynman Path Integral

Christian Grosche|ArXiv.org|Feb 20, 1993

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 82被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、リーマン空間におけるWeyl順序および積順序の規定を用いて、量子力学におけるFeynman経路積分形式への包括的導入を提供する。空間時間変換と変数分離を用いて、調和振動子、径方向振動子、クーロン・ポテンシャルといった主要な量子系の経路積分を導出し、Pauli-van Vleck-Morette行列式による正確な解および半古典的近似を得る。

ABSTRACT

In this lecture a short introduction is given into the theory of the Feynman path integral in quantum mechanics. The general formulation in Riemann spaces will be given based on the Weyl- ordering prescription, respectively product ordering prescription, in the quantum Hamiltonian. Also, the theory of space-time transformations and separation of variables will be outlined. As elementary examples I discuss the usual harmonic oscillator, the radial harmonic oscillator, and the Coulomb potential. Lecture given at the graduate college ''Quantenfeldtheorie und deren Anwendung in der Elementarteilchen- und Festkörperphysik'', Universität Leipzig, 16-26 November 1992.

研究の動機と目的

• 量子場理論および数学的物理の院生および研究者を対象に、Feynman経路積分形式について、厳密かつアクセス可能な導入を提供すること。
• 量子ハミルトニアンのWeyl順序および積順序の規定を用いて、曲がった空間における経路積分形式を確立すること。
• 球対称ポテンシャルのための経路積分を解くために、空間時間変換および変数分離の有効性を示すこと。
• D次元空間における調和振動子、径方向調和振動子、クーロン・ポテンシャルの正確な経路積分解を導出すること。
• 経路積分的手法と半古典的近似（特にPauli-van Vleck-Morette行列式を含むWKB形）との関連を明らかにすること。

提案手法

• 時間スライス法を用いて経路積分を定式化し、離散化された作用を用い、Weyl順序および積順序の規定により適切な演算子順序を保証する。
• ユニタリ同値性と正しい演算子順序を保証するため、量子ハミルトニアンにWeyl順序の規定を適用する。
• 特にDuru-Kleinert法を用いて、特異ポテンシャル（例：クーロン力）を解ける形に写像する空間時間変換を適用する。
• 球座標および径方向座標における変数分離を用いて、経路積分を1次元問題に簡略化する。
• 古典的作用とPauli-van Vleck-Morette行列式を用いて、半古典的（WKB）近似による伝播関数を導出する。
• 関数積分技法とウィENER測度の類似を用いて、経路積分が位相重み exp(iS/ħ) を持つすべての経路の和として正当化されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲がった計量を持つリーマン空間において、Feynman経路積分を一貫してどのように定式化できるか？
• RQ2 演算子順序（特にWeyl順序および積順序）は、正しい量子力学的経路積分を保証するために果たす役割は何か？
• RQ3 空間時間変換を用いて、クーロン力のような特異ポテンシャルの経路積分をどのように解けるか？
• RQ4 D次元空間における径方向調和振動子および水素原子の正確な経路積分表現は何か？
• RQ5 経路積分から半古典的近似による伝播関数はどのように導かれるのか？また、Pauli-van Vleck-Morette行列式の意味は何か？

主な発見

• 自由粒子および調和振動子の経路積分は、時間スライス法とWeyl順序の規定を用いて正確に導出され、二次形式の位相を持つ標準的な伝播関数が得られる。
• 修正されたポテンシャルを持つ1次元問題に変換することで、径方向振動子の径方向経路積分は正確に解かれる。
• D次元におけるクーロン・ポテンシャルは、Duru-Kleinert変換を用いて、解ける振動子型問題に写像され、解かれる。
• 3次元空間における水素原子の正確な経路積分は、1/rポテンシャルに空間時間変換を適用することで得られる。
• 半古典的伝播関数は、WKB近似の形で導出され、係数にPauli-van Vleck-Morette行列式が含まれる。
• この手法により、二次ハミルトニアンのための経路積分が正確に解けることが確認され、高次の補正項はħのべき級数展開による半古典的展開から生じることが示された。