[論文レビュー] An Introduction to Adjoints and Output Error Estimation in Computational Fluid Dynamics

Steven M. Kast|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2017

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、計算流体力学（CFD）におけるアドジョイント法および出力誤差推定の包括的紹介を提供し、出力に基づくメッシュ適応への応用に焦点を当てる。離散的および連続的アドジョイント定式化を導出し、それらを用いて出力誤差を推定し、メッシュの細分化を誘導する応用を示している。数値例を通じて、出力がスーパー収束する場合、高次の誤差推定が最適収束率に達することを示している。

ABSTRACT

In recent years, the use of adjoint vectors in Computational Fluid Dynamics (CFD) has seen a dramatic rise. Their utility in numerous applications, including design optimization, data assimilation, and mesh adaptation has sparked the interest of both researchers and practitioners alike. In many of these fields, the concept of an adjoint is explained differently, with various notations and motivations employed. Further complicating matters is the existence of two seemingly different types of adjoints -- "continuous" and "discrete" -- as well as the more formal definition of adjoint operators employed in linear algebra and functional analysis. These issues can make the fundamental concept of an adjoint difficult to pin down. In these notes, we hope to clarify some of the ideas surrounding adjoint vectors and to provide a useful reference for both continuous and discrete adjoints alike. In particular, we focus on the use of adjoints within the context of output-based mesh adaptation, where the goal is to achieve accuracy in a particular quantity (or "output") of interest by performing targeted adaptation of the computational mesh. While this is our application of interest, the ideas discussed here apply directly to design optimization, data assimilation, and many other fields where adjoints are employed.

研究の動機と目的

• CFDにおける離散的および連続的アドジョイントの基本的概念を明確にし、異なる表記法や定式化による混乱を解消すること。
• アドジョイント解を用いた出力に基づく誤差推定の厳密なフレームワークを確立し、関心の出力の正確な予測を可能にすること。
• アドジョイントに基づく誤差推定の有効性を示し、CFDシミュレーションの精度向上に向けたメッシュ適応を誘導すること。
• 離散的および連続的アドジョイントアプローチを比較し、一貫性および収束特性を強調すること。
• 出力がスーパー収束する場合、高次の誤差推定が最適収束率に達することを示し、特に高次法において顕著であることを示すこと。

提案手法

• 行列の逆行列を用いて離散的アドジョイントを導出し、特定の出力の計算に必要なのは逆行列の1行のみであることを示している。
• 変分法と弱形式を通じて連続的アドジョイントを導入し、連続関数空間におけるPDEのアドジョイント解を可能にしている。
• 二重重み付き残差（DWR）法を用いて、出力関数への重みを出力関数から得たアドジョイント方程式を解くことで、出力誤差推定を導出している。
• ガラーキン法を用いて、プライマル形式とデュアル形式の誤差推定が等価であることを示し、一貫性を保証している。
• 2次および3次誤差推定を用いて出力を補正し、さまざまなスーパー収束状況下での収束率を分析している。
• 3次元の翼および非定常な翼型シミュレーションを通じて、アドジョイント駆動の誤差指標に基づくメッシュ適応を検証している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的および連続的アドジョイント定式化は、導出および一貫性においてどのように異なるのか。CFDにおけるそれぞれの利点は何か。
• RQ2 アドジョイントによる出力誤差推定が最適収束率に達する条件は何か。高次誤差推定が必要となる状況はどのようなものか。
• RQ3 アドジョイントに基づく誤差推定は、関心の出力の精度向上に向けたメッシュ適応を効果的に誘導できるか。
• RQ4 出力関数のスーパー収束が、2次および3次誤差推定の性能にどのように影響するか。
• RQ5 高次有限要素法における信頼性の高い誤差推定およびメッシュ適応を保証するため、アドジョイントの一貫性が果たす役割は何か。

主な発見

• 出力が2p+1の速度でスーパー収束する場合、3次誤差推定は最適収束率に達するが、2次推定は部分的収束にとどまる。
• 標準的収束率（p+1）の場合、2次および3次誤差推定の両方が、細分化された空間における出力よりも速やかに収束するため、補正された出力は推定の次数にかかわらず同じ収束率を有する。
• アドジョイントに基づくメッシュ適応は、3次元翼や非定常な翼型において、目的の出力（例：揚力および抗力）の誤差を著しく低減し、少ない要素数で高い精度を達成している。
• 離散的アドジョイント作用素は、プライマル離散系と一貫している必要があり、そうでない場合には最適でない収束が生じる。
• 二重重み付き残差法は、出力誤差推定のための堅牢なフレームワークを提供しており、ガラーキン法ではプライマル形式とデュアル形式が等価である。
• 非定常問題では、アドジョイント解が時間依存の摂動に対する感度を捉えており、ピッチングやプラウンティングを伴う非定常流れのための動的メッシュ適応を可能にしている。