[論文レビュー] An introduction to decomposition

Eric Sharpe|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2022

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、(d−1)-形式対称性をもつ量子場理論（QFT）における分解を導入し、このような理論が「ユニバース」と呼ばれるより単純なQFTの非交差和に等価であることを示している。この枠組みにより、多宇宙干渉によるインスタントン選択則の説明が可能となり、2次元ゲージ理論やオルビフォールドへの応用が可能となり、王・文・ウィッテンのメカニズムによって異常が解消される。

ABSTRACT

We review work on `decomposition,' a property of two-dimensional theories with 1-form symmetries and, more generally, d-dimensional theories with (d-1)-form symmetries. Decomposition is the observation that such quantum field theories are equivalent to (`decompose into') disjoint unions of other QFTs, known in this context as "universes." Examples include two-dimensional gauge theories and orbifolds with matter invariant under a subgroup of the gauge group. Decomposition explains and relates several physical properties of these theories -- for example, restrictions on allowed instantons arise as a "multiverse interference effect" between contributions from constituent universes. First worked out in 2006 as part of efforts to resolve technical questions in string propagation on stacks, decomposition has been the driver of a number of developments since. We give a general overview of decomposition, describe features of decomposition arising in gauge theories, then dive into specifics for orbifolds. We conclude with a discussion of the recent application to anomaly resolution of Wang-Wen-Witten in two-dimensional orbifolds. This is a contribution to the proceedings of the conference Two-dimensional supersymmetric theories and related topics (Matrix Institute, Australia, January 2022), giving an overview of a talk given there and elsewhere.

研究の動機と目的

• 2次元理論を特に対象として、(d−1)-形式対称性をもつQFTにおける分解の概念を明確化すること。
• スタックやジェルベの上での文字列コンパクト化における物理的不整合を、分解を導入することで解消すること。
• 多宇宙干渉効果を通じて、許可されるインスタントンに制限が生じることを分解がどのように説明するかを示すこと。
• 王・文・ウィッテンの異常解消メカニズムを2次元オルビフォールドに適用し、分解を応用すること。
• 連続的な場空間経路がユニバース間を結ばないことに注目し、分解と超選択セクターを区別すること。

提案手法

• 互いに可換なトポロジカル射影演算子 $\Pi_i$ を用い、$\Pi_i\Pi_j = \delta_{ij}\Pi_j$ かつ $\sum_i \Pi_i = 1$ を満たすことで、フォック空間を同時に対角化し、ユニバース固有状態に分解可能となる。
• 分配関数の恒等式 $Z = \sum_i Z_i$ を用いて、完全な理論における相関関数が、構成的ユニバースにおける相関関数の和に分解されることを示す。
• 非最小電荷をもつ2次元ゲージ理論にこの枠組みを適用し、最小電荷をもつ$U(1)$理論の和に等価であることを示す。
• ゲージ群の部分群が自明に作用するオルビフォールドを分析し、部分群によるオルビフォールドへの分解が生じることを示す。
• 王・文・ウィッテンの異常解消手順を用い、オルビフォールド $[X/\Gamma]_B$ における$B$-場の選択がどの異常を解消するかを決定し、その結果得られる理論が非異常なオルビフォールドの非交差和に等価であることを示す。
• 量子対称性とそれに対応する解消可能な異常を示す表を作成し、$d_2(B)$ が量子対称性を、キャンセル可能な異常へ写像することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分解は、1形式対称性をもつ2次元ゲージ理論におけるインスタントン選択則をどのように説明するか？
• RQ2 スタック上での文字列コンパクト化における見かけの物理的不整合は、分解によってどのように解消されるか？
• RQ3 自明に作用する部分群をもつオルビフォールドの分解は、通常のオルビフォールドと物理的内容においてどのように異なるか？
• RQ4 分解された理論に適用した場合、王・文・ウィッテンの異常解消手順における$B$-場の役割は何か？
• RQ5 場空間の接続性に着目した場合、分解は自発的対称性の破れや超選択セクターとどのように異なるか？

主な発見

• 分解されたQFTの分配関数は、その構成的ユニバースの分配関数の和に等しい：$Z = \sum_i Z_i$。
• 完全な理論における相関関数は、$\langle \mathcal{O}_1 \cdots \mathcal{O}_m \rangle = \sum_i \langle \tilde{\mathcal{O}}_1 \cdots \tilde{\mathcal{O}}_m \rangle_i$ と分解され、ここで $\tilde{\mathcal{O}}_i$ は各ユニバースへの射影である。
• $\Gamma = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$ の場合、$d_2(B)$ が異常と一致するように$B$を選ぶと、$[X/\langle a \rangle]$ や $[X/\langle b \rangle]$ のような物理的理論が得られ、これらは非異常かつ非交差和に等価である。
• $\Gamma = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{H}$ の場合、解消された理論は、$B(a)$ と $B(b)$ に応じて、非異常なオルビフォールドの $\mathbb{Z}_2$-積、例えば $\prod_2 [X/\langle b \rangle]$ に等価となる。
• 表3の最初の行は量子対称性なしを示し、その後の3行は、$d_2(B)$ が異常部分群へ写像するように$B$を選択することで異常を解消できることを示している。
• 異なる群に対してもこのパターンは成り立ち、$d_2(B)$ が異常を記述するとき、結果として得られる $[X/\Gamma]_B$ は、異常部分群を含まない部分群によるオルビフォールドに等価となり、王・文・ウィッテンのメカニズムが確認される。