[論文レビュー] An Introduction To Geometric Prequantization

J. R. Geraci|ArXiv.org|Nov 5, 2009

Mathematics and Applications参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、量子力学を古典的力学のシンプレクティック幾何学に組み込むための厳密な数学的枠組みとして、幾何学的予量子化を導入する。シンプレクティック多様体 $ M $ 上に、曲率がシンプレクティック形式に等しい接続1形式 $ \alpha $ を持つ $ \mathrm{U}(1) $ バンドル $ L $ を構成することで、古典的観測量（滑らかな関数）からバンドル上のベクトル場への単射的リー代数同型写像を確立し、ポisson括弧と交換子の対応を実現する。さらに、フェ Feynman 経路積分の位相因子が幾何的 holonomy として自然に得られることを示す。

ABSTRACT

Classical mechanics has a natural mathematical setting in symplectic geometry and it may be asked if the same is true for quantum mechanics. More precisely, is it possible to capture certain quantum idiosyncrasies within the symplectic framework of classical mechanics? Beginning with Dirac, the idea of quantizing a classical system involved associating the phase space variables with Hermitian operators which act on some Hilbert space, as well as associating the Poisson bracket on the phase space with the commutator for the operators. Mathematically the phase space is associated with some symplectic manifold $M$ and the non-degenerate 2-form $ω$, which comes with $M$. Geometric prequantization is a process by which one does this in a mathematically "rigorous" manner and we shall attempt to just introduce the methods here. We do this by exploring this contruction for ($\mathbb{R}^{2n}, \sum_{i=1}^n dp_i \wedge dq_i$) which avoids using complex line bundles in any non-trivial way. One should note however that the Hilbert space one obtains is in fact too "big", in the sense that it has too many functions in order to correspond with actual physically significant Hilbert spaces. Geometric quantization remedies this situation but it should be noted that not all manifolds are prequantizable. We shall not discuss either of these issues however.

研究の動機と目的

• シンプレクティック多様体上の古典的力学と量子力学の間の数学的に厳密な接続を、幾何的構造を追加することで確立すること。
• 古典的観測量のポisson括弧が、予量子化バンドル上のベクトル場の交換子としてどのように実現されるかを示すこと。
• フェ Feynman 経路積分の位相因子が、位相空間上の主 $ \mathrm{U}(1) $-バンドル上の接続の holonomy として自然に生じることを示すこと。
• 曲率がシンプレクティック形式に等しい主バンドル上の接続1形式を用いて、正準交換関係の幾何的実現を提供すること。

提案手法

• シンプレクティック多様体 $ M $ 上に、曲率がシンプレクティック形式 $ \omega $ に等しい接続1形式 $ \alpha $ を持つ主 $ \mathrm{U}(1) $-バンドル $ L $ を構成する。
• 各古典的観測量 $ f \in C^\infty(M) $ のためのバンドル上のベクトル場 $ V_f $ を定義し、$ \pi_* V_f = X_f $ および $ \alpha(V_f) = f $ を満たすようにし、シンプレクティック構造と整合性を保つ。
• Darboux の定理を用いて、局所的に $ (M, \omega) $ を $ (\mathbb{R}^{2n}, \sum dp_i \wedge dq_i) $ に同一視し、持ち上げられたベクトル場の明示的計算を可能にする。
• $ V_H $ の積分曲線を導出し、$ \theta $-成分が $ \theta(t) = -\int_{t_0}^t \Lambda(s) \, ds + \theta(t_0) $ と進化することを示す。ここで $ \Lambda $ はラグランジアンである。これにより、フェ Feynman 経路積分の位相因子が再現される。
• 写像 $ f \mapsto V_f $ がリー代数同型であることを示し、$ \{f,g\} = \omega(X_f, X_g) $ が接続形式を介して、$ [V_f, V_g] = -i V_{\{f,g\}} $ という位相因子を除いた交換子に対応することを示す。
• 量子状態のヒルベルト空間が $ L $ の断面から得られることを示すが、物理的利用には大きすぎるため、幾何学的量子化によるさらなる削減が求められることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ポisson括弧と量子交換子の対応は、ファイバー・バンドル構成を用いて幾何学的に実現可能か？
• RQ2 フェ Feynman 経路積分の位相因子は、古典的シンプレクティック構造から自然に生じるか？
• RQ3 主 $ \mathrm{U}(1) $-バンドル上の接続1形式は、古典的観測量を量子演算子に持ち上げる際に果たす役割は何か？
• RQ4 ハミルトニアンベクトル場の上に、予量子化バンドル上のベクトル場を一意的に関連付ける標準的な方法はあるか？
• RQ5 なぜ、予量子化バンドルの断面から得られるヒルベルト空間は物理的量子力学には不適切であり、さらにどのような構造が必要か？

主な発見

• 接続 $ \alpha $ が $ d\alpha = \omega $ を満たす予量子化バンドル $ L $ は、古典的位相空間上での量子力学の幾何的実現を提供する。
• バンドル上の持ち上げられたベクトル場 $ V_f $ は、$ \pi_* V_f = X_f $ および $ \alpha(V_f) = f $ を満たし、古典的・量子的力学の間の一貫性を保証する。
• フェ Feynman 経路積分の位相因子は、ハミルトニアンベクトル場 $ X_H $ の流れに沿った接続 $ \alpha $ の holonomy として幾何学的に解釈される。
• 写像 $ f \mapsto V_f $ は単射的リー代数同型であるため、ポisson括弧 $ \{f,g\} $ は、位相因子を除いて交換子 $ [V_f, V_g] $ に対応する。
• 断面の空間が物理的に使用するには大きすぎるため、この構成は物理的に有用なヒルベルト空間を生じさせない。これにより、幾何学的量子化によるさらなる削減が必要となる。
• 一般にはバンドル $ L $ は一意でないが、底多様体 $ M $ が単連結である場合には一意的であり、これにより標準的な予量子化が保証される。