[論文レビュー] An Introduction to Geometric Topology

Bruno Martelli|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 29被引用数 41

ひとこと要約

本稿は、双曲幾何と3次元多様体に焦点を当てた、幾何トポロジーの包括的な入門を提供する。完全かつ向き付け可能な双曲3次元多様体の体積の集合は、順序型 $\omega^\omega$ でwell-orderedであることが確立され、Dehn充填と幾何化定理を用いて、固定された体積と注ぎ込み半径の上限に対して、それらの多様体は有限個しか存在しないことを証明する。

ABSTRACT

This book provides a self-contained introduction to the topology and geometry of surfaces and three-manifolds. The main goal is to describe Thurston's geometrisation of three-manifolds, proved by Perelman in 2002. The book is divided into three parts: the first is devoted to hyperbolic geometry, the second to surfaces, and the third to three-manifolds. It contains complete proofs of Mostow's rigidity, the thick-thin decomposition, Thurston's classification of the diffeomorphisms of surfaces (via Bonahon's geodesic currents), the prime and JSJ decomposition, the topological and geometric classification of Seifert manifolds, and Thurston's hyperbolic Dehn filling Theorem.

研究の動機と目的

• 双曲3次元多様体に重点を置いた、厳密で自己完結的な幾何トポロジーの入門を構築すること。
• 完全かつ向き付け可能な双曲3次元多様体の体積の集合が、順序型 $\omega^\omega$ でwell-orderedであることの証明。
• 任意の固定された体積 $V$ と注ぎ込み半径 $R>0$ に対して、$\mathrm{Vol}(M) < V$ かつ $\mathrm{inj}(M) > R$ を満たす閉じた双曲3次元多様体が有限個しか存在しないことの証明。
• ThurstonのDehn充填定理の現代的で、幾何化に基づく証明を提供し、分解と帰納法を用いて非双曲的充填のケースを解消すること。

提案手法

• 固定された双曲多様体 $M$ のDehn充填を、充填パラメータ $s^i \to (\infty, \ldots, \infty)$ として用い、双曲多様体の列を構成する。
• 幾何化定理を適用して、非双曲的充填を、切断によって基本的球面およびトーラスに沿って、双曲ブロックに還元する。
• Margulisの補題と厚-薄分解を用いて、注ぎ込み半径およびキューピー構造を分析する。
• Epstein–Penner分解と剪断座標付きの理想三角形分割を用いて、双曲構造を分析する。
• 変形空間の滑らかさ結果（Choi, 2004）を用い、命題15.3.4を用いて、部分的に平坦な三角形分割へと拡張する。
• Dehn充填における体積の収束を用いて、Dehn充填の過程で双曲3次元多様体の体積が元の未充填多様体の体積に下から収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての完全かつ向き付け可能な双曲3次元多様体の体積の集合の順序型は何か？
• RQ2 体積が有界で、注ぎ込み半径が一様に有界な双曲3次元多様体は、最大でいくつ存在できるか？
• RQ3 体積が一様に有界な、互いに微分同相でない双曲3次元多様体の列は、常に固定された双曲多様体 $M$ の、パラメータが無限に近づくDehn充填として実現可能か？
• RQ4 非双曲的充填候補に対してDehn充填を適用した場合、3次元多様体の幾何的構造はどのように変化するか？
• RQ5 双曲構造の変形空間を、部分的に平坦な三角形分割を含むようにどのように拡張できるか？

主な発見

• すべての完全かつ向き付け可能な双曲3次元多様体の体積の集合はwell-orderedであり、順序型 $\omega^\omega$ を有する。これは図15.14に図示されている。
• 任意の固定された体積 $V$ に対して、体積が $V$ である完全かつ向き付け可能な双曲3次元多様体は有限個しか存在しない。これはDehn充填における体積収束のおかげである。
• 体積が厳密に減少する双曲3次元多様体の列がある場合、それはパラメータが無限に近づくDehn充填による固定された双曲多様体 $M$ の体積に収束する。
• 体積が有界な閉じた双曲3次元多様体の列において、注ぎ込み半径は最終的に縮小する。これは、あるコアジオーディックの長さが0に近づくことを示唆する。
• 一様に有界な体積を持つ、互いに微分同相でない完全かつ向き付け可能な双曲3次元多様体の列は、最終的に固定された双曲多様体 $M$ の、パラメータが無限に近づくDehn充填として実現される。
• Dehn充填定理の証明は、幾何化を用いて完了され、中間の充填が双曲的でなくても、最終的に固定された双曲ブロックのDehn充填に還元されることを示している。