[論文レビュー] An Introduction to K-theory and Cyclic Cohomology

Jacek Brodzki|ArXiv.org|Jun 3, 1996

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 28被引用数 22

ひとこと要約

本稿は非可換幾何学におけるK理論と循環コホモロジーの包括的な紹介を提供し、それらの深い相互作用に焦点を当てる。Grothendieck群、C*-代数のK理論、循環ホモロジーといった基礎的道具を確立するとともに、Chern特徴類、切除定理、θ-summable FredholmモジュールのJLOコサイクルを通じてその応用を示し、非可換微分幾何学のコホモロジー的枠組みに至る。

ABSTRACT

These lecture notes contain an exposition of basic ideas of K-theory and cyclic cohomology. I begin with a list of examples of various situations in which the K-functor of Grothendieck appears naturally, including the rudiments of the topological and algebraic K-theory, K-theory of C^*-algebras, and K-homology. I then discuss elementary properties of cyclic cohomology using the Cuntz-Quillen version of the calculus of noncommutative differential forms on an algebra. As an example of the relation between the two theories we describe the Chern homomorphism and various index-theorem type statements. The remainder of the notes contains some more detailed calculations in cyclic and reduced cyclic cohomology. A key tool in this part is Goodwillie's theorem on the cyclic complex of a semi-direct product algebra. The final chapter gives an exposition of the entire cyclic cohomology of Banach algebras from the point of view of supertraces on the Cuntz algebra. The results discussed here include the simplicial normalization of the entire cyclic cohomology, homotopy invariance and the action of derivations.

研究の動機と目的

• 非可換幾何学および作用素代数の研究者を対象に、K理論と循環コホモロジーの自己完結的でアクセス可能な入門を提供すること。
• Chern特徴類やトレースを通じて、K理論と循環コホモロジーの構造的および計算的関係を明確にすること。
• 切除の結果（K理論および循環ホモロジーにおける）と、Cuntz代数が整形式循環コホモロジーを定義する役割を果たすという基礎的結果を提示すること。
• JLOコサイクルを用いてChern特徴類の理論をθ-summable Fredholmモジュールへ拡張し、量子場理論および指数理論への応用を可能にすること。
• 超トレースと単体的正規化に基づく共通のコホモロジー的枠組みを通じて、代数的K理論、C*-代数のK理論、および循環ホモロジーの概念を統一すること。

提案手法

• 自由アーベル群の商構成を用いて、アーベル半群に対する普遍的アーベル群としてGrothendieck群を構成する。
• Serre-Swanの定理を適用し、空間X上のベクトル束とC(X)上の射影的加群との関係を確立し、K^0(X)をK理論的不変量として定義する。
• 非可換微分形式とHochschild複体を用いて循環ホモロジーを導入し、循環作用素とそのホモトピー的性質に特に注目する。
• 単体的正規化を用いて整形式循環コホモロジーを定義し、Cuntz代数QA上の連続的超トレースによってコホモロジー類を表現する。
• 標準単体上の積分とD²を含む熱核のトレースを用いて、JLOコサイクルを整形式循環コサイクルとして導出する。
• 超代数のホモトピーとLie微分L_D(τ)が零ホモトープであることを示すことで、整形式循環コホモロジーのホモトピー不変性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K理論と循環コホモロジーは非可換幾何学においてどのように関係し合い、Chern特徴類はその関係において果たす役割は何か？
• RQ2 JLOコサイクルは、θ-summable FredholmモジュールへのChern特徴類の拡張において、どのような意義を有するか？
• RQ3 Cuntz代数QAは、整形式循環コサイクルと超トレースの構成をどのように支援するか？
• RQ4 Banach代数上の自己準同型Dに対して、Lie微分L_Dが整形式循環コホモロジー上でどのように自明となるのか、その意味は何か？
• RQ5 代数的K理論および循環ホモロジーにおける切除が成立する条件は何か？また、Loday-Quillen定理とQuillenの定理はどのように関係するか？

主な発見

• JLOコサイクルは、標準単体上の積分によって定義されるため、θ-summable Kサイクルに対するChern特徴類の、コホモロジー的に同値で計算に適した代替手段を提供する。
• 任意のBanach代数A上の自己準同型Dに対して、Lie微分L_Dは整形式循環コホモロジー上でゼロに作用する。これは、無限小的対称性に対して不変であることを示唆する。
• 整形式循環コホモロジー類は、QεA上の連続的超トレースから生じる正規化された整形式コサイクルによって表現可能であり、これによりJLOコサイクルの構成が可能になる。
• 循環ホモロジーにおける切除はLoday-Quillen条件を満たす場合に成立し、理想I⊂Aの相対的循環ホモロジーは、包含写像のコーンのホモロジーと同型である。
• 高次のK理論におけるChern特徴類は、高次トレースと超トレースによって実現され、偶数次の場合にはガンマ関数と対合代数L上のトレースを含む明示的公式が得られる。
• 単体的正規化定理により、整形式循環コホモロジーはホモトピーに対して不変であり、QεAのコホモロジーは元の代数の本質的構造を捉えている。