[論文レビュー] An introduction to Lévy processes with applications in finance

Antonis Papapantoleon|ArXiv.org|Apr 3, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 51被引用数 38

ひとこと要約

本稿は、金融市場のモデリングにおけるLévy過程とその応用について、技術的でない入門的説明を提供しており、基礎的な例としてジャンプ・ドリフト過程に焦点を当てている。Lévy過程は、独立かつ定常な増分を持つことにより、ジャンプや重尾分布を示すリターンを伴う資産価格動態をモデル化でき、Black-Scholesモデルのようなブラウン運動に基づくモデルに比べ、より現実的である。

ABSTRACT

These lectures notes aim at introducing Lévy processes in an informal and intuitive way, accessible to non-specialists in the field. In the first part, we focus on the theory of Lévy processes. We analyze a `toy' example of a Lévy process, viz. a Lévy jump-diffusion, which yet offers significant insight into the distributional and path structure of a Lévy process. Then, we present several important results about Lévy processes, such as infinite divisibility and the Lévy-Khintchine formula, the Lévy-Itô decomposition, the Itô formula for Lévy processes and Girsanov's transformation. Some (sketches of) proofs are presented, still the majority of proofs is omitted and the reader is referred to textbooks instead. In the second part, we turn our attention to the applications of Lévy processes in financial modeling and option pricing. We discuss how the price process of an asset can be modeled using Lévy processes and give a brief account of market incompleteness. Popular models in the literature are presented and revisited from the point of view of Lévy processes, and we also discuss three methods for pricing financial derivatives. Finally, some indicative evidence from applications to market data is presented.

研究の動機と目的

• 専門外の読者に対して、Lévy過程の直感的でアクセスしやすい概要とその金融モデリングにおける関連性を提供すること。
• Lévy過程が、ジャンプ、ファットテールのリターン分布、確率的ボラティリティサーフェスといった金融市場の主要な経験的特徴をどのように捉えるかを説明すること。
• 無限可除性、Lévy-Khintchine表現、Lévy-Itô分解といった理論的概念を、オプションプライシングやリスク管理における実践的応用と結びつけること。
• Merton、Kou、CGMY、正規逆ガウス分布といった代表的なLévyベースの資産価格設定モデルを提示・比較し、その経験的適合度を強調すること。
• 3つの主要なデリバティブ価格設定手法（特性関数変換、PIDE、モンテカルロシミュレーション）を概説し、実装と数値的妥当性に重点を置くこと。

提案手法

• Lévyジャンプ・ドリフトを『おもちゃ』の例として用い、Lévy過程におけるパスの性質、分布的挙動、およびジャンプの役割を説明する。
• Lévy-Khintchineの公式を用いて、ドリフト、拡散、Lévy測度からなる特徴的トリプレットによって、Lévy過程の特性関数を特徴付ける。
• Lévy-Itô分解を用いて、Lévy測度に基づき、連続的成分、小規模ジャンプ成分、大規模ジャンプ成分にLévy過程を分解する。
• Girsanovの定理とEsscher変換を用いて、物理測度からリスク中立的測度へ変更し、同等のマルティンゲール測度におけるデリバティブ価格設定を可能にする。
• 3つの価格設定手法をレビューする：特性関数変換（例：特性関数の逆転）、局所時間およびジャンプ・ドリフトモデルにおけるPIDEベースの手法、および分散低減技術を用いたモンテカルロシミュレーション。
• 有限活動および無限活動Lévy過程の両方のシミュレーション技術を統合し、特に複合ポアソン過程およびCGMYのような無限活動プロセスを含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy過程は、ジャンプや重尾分布を捉えることで、ブラウン運動に基づくモデルに比べて、どのように金融資産価格をより正確にモデル化できるか？
• RQ2 Lévy測度は、Lévy過程のパスの性質やモーメントを特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ3 Lévy-Khintchineの公式とLévy-Itô分解は、Lévy過程の構築と分析のための完全な理論的基盤をどのように提供するか？
• RQ4 代表的なLévyモデル（例：Merton、Kou、CGMY、Meixner）は、インプライドボラティリティサーフェスの適合度を向上させる点で、Black-Scholesモデルにどのように優れているか？
• RQ5 Lévy過程におけるオプションプライシングに応用する際、変換手法、PIDE、モンテカルロシミュレーションの間で生じる実用的妥当性と数値的考慮事項は何か？

主な発見

• 特にジャンプ・ドリフトモデルを含むLévy過程は、為替市場や株式市場における観察された不連続性とファットテールのリターン分布を効果的に捉えている。
• Lévy-Khintchineの公式は、ドリフト、拡散係数、Lévy測度からなるトリプレットによって、任意のLévy過程の特性関数を完全に特徴付ける。
• Lévy-Itô分解は、任意のLévy過程がブラウン運動、有限変動ジャンプ成分、補正済み無限活動ジャンプ成分に分解可能であることを明らかにする。
• Girsanovの定理により、Esscher変換を介した測度変更が可能となり、Lévy駆動モデルにおける一貫性のあるリスク中立的価格設定が実現する。
• 3つの価格設定手法の中で、変換に基づく手法（例：特性関数の逆転）はヨーロピアンオプションに対して最も効率的であり、モンテカルロ法はパス依存デリバティブに対してより柔軟性に優れる。
• 為替データ（例：USD/JPY、GBP/USD）からの経験的証拠は、ジャンプと重尾分布の存在を確認しており、これにより、拡散モデルのみに依存するモデルよりもLévy過程の使用が支持される。