[論文レビュー] An introduction to Lie groupoids

Antonio Kumpera|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ジャンル・ホーラー分解の解析および偏微分方程式の統合のための基盤的道具として、リー群ガロア、リー代数ガロア、およびリー擬群を導入する。古典的リー群論を群ガロアへと拡張し、延長技術と局所自明性に注目する。主な結果として、線形リー群ガロアのk次延長が局所自明な部分群ガロアをなすこと、およびそれに関連するリー代数ガロアが延長された微分作用素によって生成されることを示す。

ABSTRACT

We discuss the basic properties of Lie groupoids, Lie algebroids and Lie pseudo-groups in view of applying these techniques to the analysis of Jordan-Hölder resolutions and, subsequently, to the integration of partial differential equations. The present introduction is an extension to Lie groupoids, as far as possible, of the so well known properties and techniques much useful in Lie groups theory. We mention as far as possible since, in the case of Lie groupoids, just the first Lie Theorem holds. As for the prolongation algorithm, it is extremely useful when dealing with groupoids whereas rather senseless in the case of Lie groups.

研究の動機と目的

• 古典的リー群論をリー群ガロアへと拡張し、幾何的構造および微分方程式の研究に用いること。
• リー擬群とその群ガロア的同型物を用いたジャンル・ホーラー分解の解析のための枠組みを確立すること。
• 群ガロアにおける延長技術の有効性を示し、古典的リー群論では効果が薄いことの説明をすること。
• 線形リー群ガロアのk次延長が局所自明な部分群ガロアとして特徴付けられ、リー代数ガロアによる微分作用素と関連することを明らかにすること。
• リー群ガロアの幾何的構造を通じて、同値問題の研究および偏微分方程式の統合のための基盤を提供すること。

提案手法

• 部分的に定義された合成と単位元を持つ群ガロア構造を用いて、リー群論を一般化する。
• 局所自明性の概念を適用し、リー群ガロアを基底空間と構造群Hの積として表現する。
• 線形群ガロアGL(E)のk次ジャンプ延長を用いて、GL(J_k E)の部分群ガロアGL(E)_kを構成する。
• 無限小作用を介して関連するリー代数ガロアを導出し、それがk次延長されたベクトル場によって生成されるO_M線形部分代数ガロアとして特定される。
• ジャンプ延長写像j_k δを用いて、ジャンプバンドル上の1階微分作用素を定義し、リー代数ガロアの切断と関連付ける。
• 群ガロアのジャンプ延長と、D(J_k E)における延長作用素の像との間で、リー代数ガロア同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群ガロア理論は、微分系の解析に古典的リー群技法をどのように拡張できるか？
• RQ2 リー群ガロアにおける延長の役割は、リー群と比べてどのように異なり、なぜそれらにおいてより効果的なのか？
• RQ3 線形リー群ガロアのk次延長は、ジャンプバンドルおよび微分作用素の幾何にどのように関係するか？
• RQ4 群ガロアのリー代数ガロアは、微分方程式の無限小対称性をどのように符号化するか？
• RQ5 群ガロアの枠組みを用いて、リー擬群にたいしてジャンル・ホーラー分解を体系的に適用する方法は何か？

主な発見

• 線形リー群ガロアGL(E)のk次延長は、構造群H ⊂ GL(m,R)を有するGL(J_k E)の局所自明なリー部分群ガロアをなす。
• k次延長群ガロアのリー代数ガロアは、D(J_k E)におけるベクトル場のk次延長によって生成されるO_M線形部分代数ガロアと同型である。
• 延長写像j_k δはジャンプバンドル上の1階微分作用素を定義し、j_k[δ,δ'] = [j_k δ, j_k δ']およびσ(j_k δ) = θ ⊗ Idを満たす。
• 写像j_k Ξ ↦ j_k δは、群ガロアのジャンプ延長と、延長作用素の像との間でリー代数ガロア同型を与える。
• 群ガロアΠ_k MはGL(J_k TM)のリー部分群ガロアとして埋め込まれており、標準的作用はj_k φ(x) · j_k θ(x) = j_k(φ_* θ)(y)で与えられる。
• 自明な群ガロアM × MはGL(J_k(M × R))に埋め込まれ、Π_k Mは実数値関数のk次ジャンプ群ガロアとして実現され、標準的作用はj_k φ(x) · j_k f(x) = j_k(f ∘ φ^{-1})(y)で与えられる。