[論文レビュー] An introduction to linear poroelasticity

Andi Merxhani|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2016

Drilling and Well Engineering参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、Verruijtのドレインド形式を用いた線形ポアロ弾性の体系的導出を提示し、RiceとClearyのアンドレイン形式へと拡張し、ジャケットなしポーラー圧縮性を考慮する一般化された流体質量収支を導入する。この手法は、物理的原則から直接、流体含量の増分、貯留係数、アンドレイン材料定数の物性則を導出し、便宜的な定義やエネルギーポテンシャルを避ける。また、混合離散化における安定性条件を満たす有限要素法（FEM）に適した変分形式を提供する。

ABSTRACT

This study is an introduction to the theory of three-dimensional consolidation. The point of departure in the description are the basic equations of elasticity (i.e. constitutive law, equations of equilibrium in terms of stresses, and the definition of strain), together with the principle of effective stress, and the law of Darcy for fluid flow in porous media. These equations, together with the principle of mass conservation, are the only premises used to derive a drained description of consolidation theory. Next, the increment of fluid content is defined and its constitutive law is derived - with its derivation following naturally from the equation of fluid mass balance. Pore pressure, storage, and undrained coefficients are also introduced and useful relations are proven. Where appropriate, the physical meaning of these coefficients is proven mathematically. Equations of equilibrium and fluid mass conservation are subsequently expressed in terms of the increment of fluid content and undrained coefficients, leading to an undrained description of consolidation theory. Thus the initial approach of using drained description is extended to the formalism of Rice and Cleary. This approach to three-dimensional consolidation is useful for its simplicity. It does not require the ad-hoc definition of constants and that of an elastic energy potential. Instead, it is a direct extension to linear elasticity that accounts for the coupling of skeletal deformations and fluid behaviour.

研究の動機と目的

• 便宜的な仮定ではなく、基本的原則に基づく自己完結的で物理的に根拠のある線形ポアロ弾性の導出を提供すること。
• Verruijtのドレインド形式を、流体質量収支方程式にジャケットなしポーラー圧縮性を組み込むことで拡張すること。
• 流体含量の増分とポーラー圧力係数を用いて、RiceとClearyの形式と整合するアンドレイン記述を導出すること。
• 混合離散化に適した有限要素法（FEM）に適した変分形式を確立し、適切な離散化制約を設けること。
• ストレティビティ、スケムプトンのB係数、アンドレインモジュラスといった主要係数の物理的・数学的意味を証明すること。

提案手法

• 等方的弾性から出発し、有効応力の原理、ダルシーの法則、質量保存則を用いて、平衡方程式および流体質量収支方程式を導出する。
• 流体含量の増分をポーラー圧力と仕事共役な変数として導入し、流体質量収支方程式からその物性則を導出する。
• Verruijtの元来の定式化を拡張し、ジャケットなしポーラー圧縮性を含む貯留係数の一般化を実施する。
• 流体含量増分の物性則を用いて、ポーラー圧力係数BおよびB′、およびアンドレインポisson比νuを導出する。
• 平衡方程式および流体質量保存則を、流体含量の増分およびアンドレイン係数の観点から表現し、アンドレイン記述を可能にする。
• FEM用の弱形式を構築し、混合有限要素離散化（例：Taylor-Hood要素）によりBabuška-Brezzi条件を満たすことで安定性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアロ弾性における流体質量収支方程式は、Verruijtの元来の定式化を超えて、ジャケットなしポーラー圧縮性をどのように一般化できるか？
• RQ2 線形ポアロ弾性の文脈において、スケムプトンのポーラー圧力係数Bおよびアンドレイン係数B′の物理的・数学的根拠は何か？
• RQ3 アンドレインポアロ弾性定数（例：Eu、Ku、νu）は、流体含量増分の物性則から直接どのように導出可能か？
• RQ4 ストレティビティSεが固着問題において0に近づく場合の意味は何か？ また、FEMにおける数値的安定性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 混合有限要素法によるポアロ弾性の安定性を保証するための離散化制約は何か？

主な発見

• 流体質量収支方程式は、ジャケットなしポーラー圧縮性を含むように拡張され、固体相および内部空隙の圧縮性を考慮するより一般的なストレティビティSεの表現が得られた。
• ポーラー圧力係数BはB = α / Mとして導出され、体積ひずみと流体含量変化の関係に物理的意味が与えられる。ここでαはBiot係数、MはBiotのモジュラスである。
• アンドレイン係数B′はB′ = α / (M + (1 - α)Ks)として導出され、固体相の圧縮性に依存することが示され、一軸ひずみ条件下ではBに簡略化される。
• 一軸貯留係数SはS = m_v + (1 - α)Cϕとして導出され、ここでm_vはドレイン圧縮率、Cϕはジャケットなしポーラー圧縮率であり、測定可能な材料特性と直接関連づけられる。
• アンドレイン体積弾性率KuはKu = K + (1 - α)²M / (1 - α + M/K)として導出され、アンドレイン状態が剛性化効果を及ぼすことが示された。
• 変分形式は、安定なFEM離散化が、圧力場を変位場よりも低次の形状関数で近似する必要があることを明らかにした。これはBabuška-Brezzi条件を満たすための条件である。