[論文レビュー] An introduction to PT-symmetric quantum mechanics -- time-dependent systems

Andreas Fring|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2022

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時間に依存する ${\cal PT}$ 対称量子系のための体系的な枠組みを提示し、時間に依存するダイソン写像と計量を用いて、ユニタリな時間発展と実数固有値を維持する方法を示している。また、自発的${\cal PT}$ 破れ領域において、フォン・ノイマンエントロピーが完全に減少しなくなり、有限の漸近的値に達することを示しており、これにより量子系におけるデコherenceの抑制が可能になる。

ABSTRACT

I will provide a pedagogical introduction to non-Hermitian quantum systems that are PT-symmetric, that is they are left invariant under a simultaneous parity transformation (P) and time-reversal (T). I will explain how generalised versions of this antilinear symmetry can be utilised to explain that these type of systems possess real eigenvalue spectra in parts of their parameter spaces and how to set up a consistent quantum mechanical framework for them that enables a unitary time-evolution. In the second part I will explain how to extend this framework to explicitly time-dependent Hamiltonian systems and report in particular on recent progress made in this context. I will explain how to construct the essential key quantity in this framework, the time-dependent Dyson map and metric and solutions to the time-dependent Schrödinger equation, in an algebraic fashion, using time-dependent Darboux transformations, utilising Lewis-Riesenfeld invariants, point transformations and some approximation methods. I comment on the ambiguities of this metric and demonstrate that this can even lead to infinite series of metric operators. I conclude with some applications to PT-symmetrically coupled oscillators, demonstrate the equivalence of the time-dependent double wells and unstable anharmonic oscillators and show how the unphysical PT$-symmetrically broken regions in the parameter space for the time-independent theory becomes physical in the explicitly time-dependent systems. I discuss how this leads to a prolongation of the otherwise rapidly decaying von Neumann entropy. The so-called sudden death of the entropy is stopped at a finite value.

研究の動機と目的

• 時間に依存する明示的 ${\cal PT}$ 対称ハミルトニアンのための一貫性のある量子力学的枠組みを確立すること。
• 時間に依存する非エルミート系の実現可能性に関する長年の懸念を解消するため、明確に定義されたダイソン写像と計量を構築すること。
• ${\cal PT}$ 対称的破れ領域が時間に依存する系において物理的に利用可能になること、およびデコherenceの制御が可能になることを示すこと。
• 開系におけるフォン・ノイマンエントロピーが、破れ領域においても有限の値にまで延長され安定化されることを示すこと。

提案手法

• 時間に依存するダーブルツ変換を用いて、代数的に時間に依存するダイソン写像と計量を構築する。
• ルイス＝ライゼンフェルト不変量と点変換を用いて、${\cal PT}$ 対称系の時間に依存するシュレーディンガー方程式を解く。
• 正確な解が得られない複雑な時間に依存するハミルトニアンに対して、近似法を適用する。
• ダイソン写像の構築における固有の不確かさにより、無限個の計量演算子が存在することを示す。
• 時間に依存する二重井戸型ポテンシャルと不安定な非調和振動子を、ユニタリ変換を用いて同等の ${\cal PT}$ 対称系に写像する。
• 部分系に対する部分的トレースを用いてフォン・ノイマンエントロピーを計算し、三つの ${\cal PT}$ 状態における時間発展を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存する ${\cal PT}$ 対称ハミルトニアンのための一貫性のある量子力学的枠組みをどのように構築できるか？
• RQ2 時間に依存するダイソン写像と計量が、ユニタリ時間発展と実数固有値を保証するために果たす役割は何か？
• RQ3 ${\cal PT}$ 対称的破れ領域が時間に依存する系において物理的に関連するようになることは可能か？もしそうなら、どのように実現されるか？
• RQ4 時間に依存する ${\cal PT}$ 対称系におけるフォン・ノイマンエントロピーの振る舞い、特に破れ領域における挙動はいかなるものか？
• RQ5 時間に依存する ${\cal PT}$ 対称系は、標準的な散乱的モデルと比較して、デコherenceをどれほど効果的に抑制できるか？

主な発見

• 時間に依存するダイソン写像と計量は、時間に依存するダーブルツ変換とルイス＝ライゼンフェルト不変量を用いて体系的に構築可能であり、ユニタリ発展を保証する。
• ${\cal PT}$ 対称的破れ領域が時間に依存する系において物理的に利用可能となり、安定した非減少的ダイナミクスが可能になる。
• 破れ ${\cal PT}$ 領域において、フォン・ノイマンエントロピーはゼロに減少せず、有限の漸近的値に安定化する。これにより「突然死」が回避される。
• ボソンが $N$ 個のボソンからなるバスタブと結合する系において、エントロピー $S_{H,a} = -\lambda_-×\ln(\lambda_-) - \lambda_+×\ln(\lambda_+)$ は $\mu(t)$ を通じて時間に依存し、$\lambda_\pm$ は $\mu(t)$ の三角関数で定義される。
• エントロピーの減少は ${\cal PT}$ 対称的領域で最も速く、特異点においては徐々に遅れ、破れ領域では完全に停止する。
• この振る舞いは、非エルミート型ジェインズ＝カミングスモデルを含むさまざまなモデルに共通しており、開放系量子系における観測結果とも一致する。