[論文レビュー] An Introduction to Quantum Error Correction and Fault-Tolerant Quantum Computation

Daniel Gottesman|ArXiv.org|Apr 16, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 153

ひとこと要約

この論文は、量子エラー訂正（QEC）と耐故障量子計算を導入し、特に9キュービットコードを用いた安定化子コードが、ビット反転エラーと位相反転エラーの両方に対する量子状態の保護を可能にすることを示している。閾値定理を確立し、物理的エラー率が臨界閾値未満であれば、信頼性のある量子計算が可能であることを証明している。厳密な境界とプロトコルにより、ノイズを含む部品に対しても耐故障論理操作が可能となる。

ABSTRACT

Quantum states are very delicate, so it is likely some sort of quantum error correction will be necessary to build reliable quantum computers. The theory of quantum error-correcting codes has some close ties to and some striking differences from the theory of classical error-correcting codes. Many quantum codes can be described in terms of the stabilizer of the codewords. The stabilizer is a finite Abelian group, and allows a straightforward characterization of the error-correcting properties of the code. The stabilizer formalism for quantum codes also illustrates the relationships to classical coding theory, particularly classical codes over GF(4), the finite field with four elements. To build a quantum computer which behaves correctly in the presence of errors, we also need a theory of fault-tolerant quantum computation, instructing us how to perform quantum gates on qubits which are encoded in a quantum error-correcting code. The threshold theorem states that it is possible to create a quantum computer to perform an arbitrary quantum computation provided the error rate per physical gate or time step is below some constant threshold value.

研究の動機と目的

• 量子コンピュータにおけるデコherenceとノイズに対する量子情報の保護の理論的枠組みを確立すること。
• 量子エラー訂正符号（QECC）が安定化子形式を用いて、ビット反転と位相反転エラーの両方を補正できることを示すこと。
• 物理ゲートが故障している場合でも、符号化されたキュービット上の論理的演算を可能にする耐故障量子計算プロトコルを開発すること。
• 量子閾値定理を証明し、物理的エラー率が定数の閾値未満であれば、信頼性のある量子計算が可能であることを示すこと。
• 連結量子符号におけるエラー閾値、符号距離、計算オーバーヘッドのトレードオフを分析すること。

提案手法

• アーベル群のパウリ演算子による安定化部分空間として、量子符号を安定化子形式で記述する。
• 3キュービットのビット反転と位相反転コードを連結構造で組み合わせることで、9キュービットコードを用いて任意の1キュービットエラーを補正する。
• エラー訂正（EC）や論理ゲート実装などの耐故障ガジェットを用い、複数の符号化レベルにわたるエラー伝播を防ぐ。
• 論理的演算を符号化されたアーキテクチャ状態とエラー検出回路を用いて実行する再帰的連結スキームを実装する。
• 「悪性」エラー集合の概念を用いてエラー伝播を分析し、その確率を境界で制限することで耐故障性を保証する。
• 複数レベルの連結後の総エラー確率を境界で抑え、合計エラー確率の条件を導出し、信頼性のある計算が可能な閾値を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子エラー訂正は、ビット反転と位相反転エラーの両方に対して、重ね合わせ状態を保護できるように設計可能か？
• RQ2 物理ゲートがノイズを含む場合、耐故障量子計算はどのように達成可能か？
• RQ3 信頼性のある量子計算が依然として可能である最大の物理的エラー率は何か？
• RQ4 耐故障量子計算の閾値は、符号距離とエラーモデル構造にどのように依存するか？
• RQ5 近隣相互作用のみと限られたアーキテクチャ状態の利用で、耐故障プロトコルを構築可能か？

主な発見

• 9キュービットコードは、3キュービットのビット反転と位相反転コードを連結構造で組み合わせることで、任意の1キュービットエラーを効果的に補正する。
• 閾値定理により、1ゲートまたは1タイムステップあたりの物理的エラー率が定数の閾値未満であれば、信頼性のある量子計算が可能であることが証明された。
• 7キュービットコードを注意深くエラー数を数えると、閾値の下限として $ p_T \geq 2.73 \times 10^{-5} $ が得られた。
• 高度なアーキテクチャ状態準備技術を用いたシミュレーションでは、5%に達する閾値が得られたが、厳密な境界では $ 10^{-3} $ の下限が得られた。
• 近隣相互作用と動的アーキテクチャ状態準備のみを用いて、耐故障プロトコルを設計可能であり、スケーラブルなアーキテクチャを実現可能である。
• 閾値はエラーモデルに依存する。多くのキュービットエラーの振幅が指数関数的に減少することが、壊滅的失敗を防ぐために必要である。