[論文レビュー] An Introduction To Small Divisors

Stefano Marmi|ArXiv.org|Sep 27, 2000

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、力学系における小分母問題について包括的な紹介を提供しており、1変数の複素解析的微分同相の線形化と、収束に寄与するディオファントス条件の役割に焦点を当てる。Brjunoの条件の下で、2次多項式の線形化の収束を保証するYoccozの定理を確立し、Brjuno関数と連分数を通じて数論と複素力学系を結びつける。

ABSTRACT

This is an introduction to small divisors problems. The material treated in this book was brought together for a PhD course I tought at the University of Pisa in the spring of 1999. Here is a Table of Contents: Part I One Dimensional Small Divisors. Yoccoz's Theorems 1. Germs of Analytic Diffeomorphisms. Linearization 2. Topological Stability vs. Analytic Linearizability 3. The Quadratic Polynomial: Yoccoz's Proof of the Siegel Theorem 4. Douady-Ghys' Theorem. Continued Fractions and the Brjuno Function 5. Siegel-Brjuno Theorem, Yoccoz's Theorem. Some Open Problems 6. Small Divisors and Loss of Differentiability Part II Implicit Function Theorems and KAM Theory 7. Hamiltonian Systems and Integrable Systems 8. Quasi-Integrable Hamiltonian Systems 9. Nash-Moser's Implicit Function Theorem 10. From Nash-Moser's Theorem to KAM: Normal Form of Vector Fields on the Torus Appendices A1. Uniformization, Distorsion and Quasi-conformal maps A2. Continued Fractions A3. Distributions, Hyperfunctions. Hypoellipticity and Diophantine Conditions

研究の動機と目的

• 1次元複素力学系における小分母問題の基礎的理解を提供すること。
• 固定点における解析的微分同相の芽がいつ解析的に線形化可能であるかを調べること。
• 回転数の数論的性質（ディオファントス的、Brjuno的）が線形化級数の収束に与える影響を結びつけること。
• Fréchet空間におけるNash–Moserの陰関数定理を導入し、準可積分ハミルトニアン系におけるKAM理論におけるその役割を説明すること。
• Poincaré, Siegel, Kolmogorov, Arnold, Moser, Herman, Yoccozの原典を、演習問題と参考文献を通じて動機づけて紹介すること。

提案手法

• 複素平面上の解析的微分同相の芽を分析し、$ f'(0) = \lambda \neq 0 $ を満たすホロモーフィック芽の群 $ G_{\lambda} $ に注目する。
• $ G_1 $作用による共役を用いて、芽の同値類と中心化子を研究する。
• 連分数とBrjuno関数を用いて、線形化級数の収束を特徴付ける。
• 線形差分方程式の解を表現するために、円周上の超関数と分布の概念を導入する。
• ベクトル場 $ \partial_{\theta_1} + \alpha \partial_{\theta_2} $ の擬微分的性質と、$ \alpha $ に対するディオファントス条件との関係を確立する。
• 非線形問題における正則性の損失を取り扱うために、Fréchet空間におけるNash–Moser定理を用いる。特にKAM理論においてその応用を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定点における解析的微分同相の芽がいつ解析的に線形化可能か。
• RQ2 回転数におけるディオファントス的およびBrjuno的条件が線形化級数の収束に与える影響は何か。
• RQ3 連分数とBrjuno関数が線形化可能性を決定づける役割は何か。
• RQ4 Fréchet空間における逆関数定理の失敗がNash–Moser定理の必要性を生じるメカニズムは何か。
• RQ5 線形化共役方程式の解が超関数または分布であるという意味は何か。これは共役写像の正則性にどのような意味を持つのか。

主な発見

• Yoccozの定理により、$ \lambda $ が単位根でない場合、$ f \in G_\lambda $ が解析的に線形化可能であるための必要十分条件は、回転数 $ \alpha $ がBrjuno条件を満たすことである。
• Brjuno条件は、$ \alpha $ の収束項の分母 $ q_n $ を用いて $ \sum_{n=0}^\infty \frac{\log q_n}{q_n} $ の収束と同値である。
• 差分方程式 $ f_g(\theta + \alpha) - f_g(\theta) = g(\theta) $ の基本解 $ f_\delta $ が分布であるのは、$ \alpha $ がディオファントス的である場合に限る。
• 基本解 $ f_\delta $ が超関数であるのは、$ \lim_{n \to \infty} \frac{\log q_{n+1}}{q_n} = 0 $ のときであり、これはディオファントス条件よりも厳密に弱い条件である。
• 演算子 $ \partial_{\theta_1} + \alpha \partial_{\theta_2} $ が擬微分的であるのは、$ \alpha $ がディオファントス的である場合に限る。これにより、偏微分方程式の正則性と数論が結びつく。
• 超関数の空間 $ A'({\mathbb{T}}^1) $ は、$ \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} $ 上で無限遠点における制御された成長と $ \pm i\infty $ における反対称性を満たす正則関数の空間 $ \mathcal{O}_\Sigma $ と自然に同型である。