[論文レビュー] An introduction to some novel applications of Lie algebra cohomology and physics

J. A. de Azcárraga, José Izquierdo+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 1998

Advanced Topics in Algebra被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、理論物理学における高次対称性および一般化されたポアソン構造の分野において、リー代数コホモロジーの新しい応用を提示する。高次リー代数拡大および一般化されたポアソン括弧の分類を可能にするコホモロジー的枠組みを構築し、有効な WZW 力学系および数学的物理における対称多項式不変量に関する新たな知見をもたらす。

ABSTRACT

After a self-contained introduction to Lie algebra cohomology, we present some recent applications in mathematics and in physics. Contents: 1. Preliminaries: L_X, i_X, d 2. Elementary differential geometry on Lie groups 3. Lie algebra cohomology: a brief introduction 4. Symmetric polynomials and higher order cocycles 5. Higher order simple and SH Lie algebras 6. Higher order generalized Poisson structures 7. Relative cohomology, coset spaces and effective WZW actions

研究の動機と目的

• 物理学者および数学者向けに、リー代数コホモロジーの自己完結的入門を提供すること。
• 抽象的なコホモロジー的構造と、量子場理論および微分幾何学における具体的な物理的応用を橋渡しすること。
• 対称多項式および高次コサイクルが、拡張されたリー代数を分類する役割を果たすことを探求すること。
• コホモロジー的手法を用いてポアソン構造を一般化し、高次一般化ポアソン括弧を導出すること。
• 相対コホモロジーを用いて、特にヴェッス＝ツミノ＝ヴォイタモデルの文脈において、同相空間上の有効作用を導出すること。

提案手法

• リー微分 $\mathcal{L}_X$、内部乗法 $i_X$、外微分 $d$ などの微分幾何的道具を用いて、コホモロジー的枠組みを構築する。
• チェバリ＝アイレンバーグ複体を適用して、リー代数コホモロジー群を計算し、不変対称多項式に注目する。
• $n$-コサイクルを含むコホモロジー的構成を用いて、高次リー代数および SH（シャッフル）リー代数を導入する。
• 高次コサイクルを用いて一般化されたポアソン構造を構成し、古典的ポアソン幾何学を高ランクテンソルへ拡張する。
• リー代数の対に対する相対コホモロジーを用いて、同相空間を分析し、有効な WZW 型作用を導出する。
• 不変多項式理論を用いて $n$-コサイクルを分類し、微分幾何学における特徴類と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー代数コホモロジーを、物理理論における高次対称性を体系的に分類するためにどのように応用できるか？
• RQ2 対称多項式が、リー代数コホモロジーにおける高次コサイクルを生成する役割を果たすのはどのような点か？
• RQ3 高次コサイクルが、古典的双線形ケースを越えた一般化されたポアソン構造をどのように導くのか？
• RQ4 同相空間上での相対コホモロジーが、 conformal field theories における有効作用をどのように導くのか？
• RQ5 コホモロジー的手法を用いて SH リー代数を構成し、場の理論における高次ホモトピー的対称性を記述できるか？

主な発見

• 本論文は、対称多項式と高次リー代数コサイクルとの間の明確な関係を確立し、このような構造のコホモロジー的分類を可能にする。
• 一般化されたポアソン構造が、リー代数コホモロジーにおける $n$-コサイクルから自然に生じることを示し、古典的ポアソン括弧を拡張する。
• $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$ の対に対する相対コホモロジーを用いて、同相空間上での有効なヴェッス＝ツミノ＝ヴォイタ作用を導出し、明示的なコホモロジー的制約を提示した。
• $n$-コサイクルを用いた高次リー代数拡大の分類フレームワークは、変形理論および量子場理論における関連性を示し、成功裏に実現された。
• コホモロジー的手法による SH リー代数の構成は、物理的モデルにおける高次対称性の背後にあるより深い代数的構造を明らかにした。
• 不変多項式およびコホモロジー的不変量を用いた一般化されたポアソン括弧の生成と分類の体系的メソッドを提供した。